chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-4-306-323cheb-1146Research ArticleСтатьиArticleО кратных рациональных тригонометрических суммах над полем алгебраических чиселOn multiple rational trigonometric sums over a field of algebraic numbersЧубариковВладимир НиколаевичChubarikovVladimir Nikolaevich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

chubarik2020@mail.ruМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation202111012022224306323Copyright © Чубариков В.Н., 20212021Чубариков В.Н.Chubarikov V.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1146

В работе описаны основные свойства полиномиальных сравнений по модулю идеала в кольце целых алгебраического числового поля, найдены оценки полных рациональных тригонометрических сумм от многочлена над алгебраическим полем, получены оценки сумм характеров Дирихле по модулю, равному степени простого идеала в алгебраическом поле, даны оценки кратных полных рациональных тригонометрических сумм от многочленов над алгебраическим полем.

The paper describes the basic properties of polynomial comparisons modulo an ideal in the ring of integers of an algebraic number field, estimates of total rational trigonometric sums from a polynomial over an algebraic field are found, estimates of sums of Dirichlet characters modulo the degree of a prime ideal in an algebraic field are obtained, estimates of multiples of total rational trigonometric sums from polynomials over an algebraic field are given.

тригонометрические суммыметод И. М. Виноградоваметод Хуа Ло- кенакольцо целых в алгебраическом числовом полеполные рациональные тригонометри- ческие суммы над алгебраическим числовым полемхарактеры Дирихле в алгебраических числовых поляхформула А. Г. Постникова для характеров Дирихле в алгебраическом по- ле.trigonometric sumsI. M. Vinogradov methodHua Lo-ken methodring of integers in an algebraic number fieldcomplete rational trigonometric sums over an algebraic number fieldDirichlet characters in algebraic number fieldsA. G. Postnikov formula for Dirichlet characters in an algebraic field.ReferencesВиноградов, И. М., Новый способ для получения асимптотических выражений арифметических функций // Изв. РАН, 1917, 41, 𝑁𝑜.16, с.1347–1378.Vinogradov, I. M., 1917, A new method for obtaining asymptotic expressions of arithmetic functions, Izv. RAS, 41, 𝑁𝑜.16, с.1347–1378.Виноградов, И. М., О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного определителя // Сообщ. Харьк. мат. о-ва, 1918, вып.1, 𝑁𝑜.1 − 2, с.10–38.Vinogradov, I. M., 1918, On the average value of the number of classes of purely indigenous forms of the negative determinant, Message. Kharkiv. mat. o-va, issue 1, 𝑁𝑜.1−2, pp. 10–38.Vinogradov, I. M., Sur la distribution des r´esidues et des non-r´esidues des puissances // Журн. Физ.-мат. о-ва при Перм. ун-те. 1918, вып. 1, с.94–98.Vinogradov, I. M., 1918, Sur la distribution des r´esidues et des non-r´esidues des puissances, Journal of Physics-mat. o-va at Perm. University, issue 1, pp. 94–98.Виноградов, И. М., Элементарное доказательство одной общей теоремы аналитической теории чисел // Изв. РАН, 1925, 19, 𝑁𝑜.16 − 17, с.785–796. Рез. на франц. яз.Vinogradov, I. M., 1925, An elementary proof of a general theorem of analytic number theory, Izv. RAS, 19, 𝑁𝑜.16 − 17, pp. 785–796. Res. in French lang.Виноградов, И. М., О распределении индексов // Докл. АН СССР-А, 1926, 𝑁𝑜.4, с.73–76.Vinogradov, I. M., 1926, About the distribution of indexes, Dokl. USSR Academy OF Sciences, 𝑁𝑜.4, pp. 73–76.Vinogradov, I. M., On the bound of the least non-residues of 𝑛-th powers // Trans. Am. math. Soc. 1927, 29, 𝑁𝑜.1, p.218–226.Vinogradov, I. M., 1927, On the bound of the least non-residues of 𝑛-th powers, Trans. Am. math. Soc., 29, 𝑁𝑜.1, pp. 218–226.Winogradow, J. M., Sur un th´eor`eme g´en´eral de Waring // Матем. сборник. 1924, 31, с.490–507.Vinogradov, I. M., 1924, Sur un th´eor`eme g´en´eral de Waring, Math. collection., 31, pp. 490– 507.Виноградов, И. М., К вопросу о распределении дробных долей значений функций одного переменного // Журн. Ленингр. физ.-мат. о-ва. 1926, bf 1, вып. 1, с.56–65. Рез. на франц. яз.Vinogradov, I. M., 1926, On the question of the distribution of fractional fractions of the values of functions of one variable, Journal. Leningr. phys.-mat. o-va., bf 1, issue. 1, pp. 56–65. Res. in French lang.Виноградов, И. М., О распределении дробных долей значений функций двух переменных // Изв. Ленингр. политехн. ин-та. 1927, bf 30, с.31–52. Рез. на франц. яз.Vinogradov, I. M., 1927, On the distribution of fractional fractions of the values of functions of two variables, Izv. Leningr. Polytechnic institute, bf 30, pp. 31–52. Res. in French lang.Виноградов, И. М., О теореме Варинга // Изв. АН СССР. ОФМН, 1928, 𝑁𝑜.4, с.393–400.Vinogradov, I. M., 1928, On Waring’s theorem, Izv. AN USSR. OFMN, 𝑁𝑜.4, pp. 393–400.Виноградов, И. М., Новое решение проблемы Варинга // Докл. АН СССР. 1934, 2 𝑁𝑜.6, с.337–341. Текст на рус. и рез. на англ. яз.Vinogradov, I. M., 1934, A new solution to the Waring problem, Dokl. USSR Academy of Sciences., 2 𝑁𝑜.6, pp. 337–341. Text on russian language and rez. on english language.Виноградов, И. М., О некоторых новых проблемах теории чисел // Докл. АН СССР. 1934, 3 𝑁𝑜.1, с.1–6. Текст на рус. и англ. яз.Vinogradov, I. M., 1934, On some new problems of number theory, Dokl. USSR Academy of Sciences., 3 𝑁𝑜.1, pp. 1–6. Text on russian language and rez. on english language.Виноградов, И. М., Новая оценка 𝐺(𝑛) в проблеме Варинга // Докл. АН СССР. 1934, 4, 𝑁𝑜.5 − 6, с.249–253. Текст на рус. и англ. яз.Vinogradov, I. M., 1934, New assessment 𝐺(𝑛) in the Waring problem, Dokl. USSR Academy OF Sciences., 4 𝑁𝑜.5 − 6, pp. 249–253. Text on russian language and rez. on english language.Виноградов, И. М., О верхней границе 𝐺(𝑛) в проблеме Варинга // Изв. АН СССР. ОМЕН, 1934, 𝑁𝑜.10, с.1455–1469. Рез. на англ. яз.Vinogradov, I. M., 1934, About the upper bound 𝐺(𝑛) in the Waring problem, Izv. of the USSR Academy of Sciences. OMEN, 𝑁𝑜.10, pp. 1455–1469. Rez. on english language.Виноградов, И. М., Новые оценки сумм Вейля // Докл. АН СССР. 1935, 3 𝑁𝑜.5, с.195–198.Vinogradov, I. M., 1935, New estimates of Weyl sums, Dokl. USSR Academy OF Sciences., 3 𝑁𝑜.5, pp. 195–198.Виноградов, И. М., Представление нечетного числа суммой трех простых чисел // Докл. АН СССР. 1937, 15 𝑁𝑜.6 − 7, с.291–294.Vinogradov, I. M., 1937, Representation of an odd number by the sum of three primes, Dokl. USSR Academy OF Sciences, 15 𝑁𝑜.6 − 7, pp. 291–294.Виноградов, И. М., Оценки некоторых простейших тригонометрических сумм с простыми числами // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1939, 𝑁𝑜.4, с.371–398. Рез. на англ. яз.Vinogradov, I. M., 1939, Estimates of some simplest trigonometric sums with prime numbers, Izv. AN USSR. Ser. mat., 𝑁𝑜.4, pp. 371–398. Rez. on english language.Виноградов, И. М., Некоторые проблемы аналитической теории чисел. — В кн.: Труды Третьего Всесоюзного математического съезда. Москва, июнь–июль 1956 г. Т.3. Обзорные доклады. М., Изд-во АН СССР, 1958, с.3–13.Vinogradov, I. M., 1958, Some problems of analytical number theory. — In: Proceedings of the Third All-Union Mathematical Congress. Moscow, June-July 1956, vol. 3. Review reports. M., Publishing House of the USSR Academy of Sciences, pp. 3–13.Виноградов, И. М., К вопросу о распределении дробных частей значений многочлена // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1961, 25, 𝑁𝑜.6, с.749–754.Vinogradov, I. M., 1961, On the question of the distribution of fractional parts of the values of a polynomial, Izv. AN USSR. Ser. mat, 25, 𝑁𝑜.6, pp. 749–754.Виноградов, И. М., Карацуба, А. А., Метод тригонометрических сумм в теории чисел // Труды матем. ин-та АН СССР., 1984, 168, с.4–30.Vinogradov, I. M., Karatsuba, A. A., 1984, The method of trigonometric sums in number theory, Works of math. Institute of the USSR Academy of Sciences., 168, pp. 4–30.Виноградов, И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел. — М.: Наука, 1980, 144 с.Vinogradov, I. M., 1980, The method of trigonometric sums in number theory. — M.: Science, pp. 144.Виноградов, И. М., Особые варианты метода тригонометрических сумм. — М.: Наука, 1976, 120 с.Vinogradov, I. M., 1976, Special variants of the trigonometric sums method. — M.: Science, pp. 120.Виноградов, И. М., Основы теории чисел. — Москва-Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2005, 176 с.Vinogradov, I. M., 2005, Fundamentals of number theory. — Moscow-Izhevsk: SIC ‘Regular and chaotic dynamics pp. 176.Vinogradov, I. M., Selected Works, N.-Y., Heidelberg, Berlin, Springer-Verlag, 1985, pp.401.Vinogradov, I. M., 1985, Selected Works, N.-Y., Heidelberg, Berlin, Springer-Verlag, pp. 401.Gauss, K. F., Disquisitiones arithmeticae, Leipzig, Fleischer, 1801.Gauss, K. F., 1801, Disquisitiones arithmeticae, Leipzig, Fleischer.Hardy, G. H., Littlwood, J. E., Some problems of “Partitio Numerorum”:III. On the expression of a number as a sum of primes // Acta Math. 1923, 44, 1–70.Hardy, G. H., Littlwood, J. E., 1923, Some problems of “Partitio Numerorum”:III. On the expression of a number as a sum of primes, Acta Math., 44, pp. 1–70.Hardy, G. H., Littlwood, J. E., Some problems of “Partitio Numerorum”:VI. Further researches in Waring’s problem // Math. Z. 1925, 23, 1–37.Hardy, G. H., Littlwood, J. E., 1925, Some problems of “Partitio Numerorum”:VI. Further researches in Waring’s problem, Math. Z., 23, pp. 1–37.Landau, E., Vorlesungen ¨uber Zahlentheorie, Erster Band. Leipzig, S. Hirzel, 1927.Landau, E., 1927, Vorlesungen ¨uber Zahlentheorie, Erster Band. Leipzig, S. Hirzel.Hua Loo-Keng. Selected Papers. — N.-Y., Heidelberg, Berlin, 1983. pp.888.Hua Loo-Keng., 1983, Selected Papers. — N.-Y., Heidelberg, Berlin, pp. 888.Hua Loo-Keng. Some results in the additive prime number theory // Quart. J. Math. Oxford. 1938. V.9. P.68-80.Hua Loo-Keng. 1938, Some results in the additive prime number theory, Quart. J. Math. Oxford. Vol. 9. pp. 68–80.Постников, А. Г., О сумме характеров по модулю, равному степени простого числа // Изв. АН СССР, сер. матем. 1955, 19, вып. 1, с.11–16.Postnikov, A., G., 1955, On the sum of characters modulo the power of a prime number, Izv. AN USSR, ser. matem., 19, Vol. 1, pp. 11–16.Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм. — М.: Наука. Гл. ред.физ.-мат. лит. 1987, 368 с.Arkhipov G. I., Karatsuba A. A., Chubarikov V. N., 1987, Theory of multiple trigonometric sums. — M.: Science. Gl. ed.phys.-mat. lit., pp. 368.Arkhipov G. I., Chubarikov V. N., Karatsuba A. A. Trigonometric sums in number theory and analysis. De Gruyter expositions in mathematics; 39 — Berlin, New York: Walter de Gruyter, 2004, pp. 554.Arkhipov G. I., Chubarikov V. N., Karatsuba A. A., 2004, Trigonometric sums in number theory and analysis. De Gruyter expositions in mathematics; 39 — Berlin, New York: WalterWang Yuan. Diophantine Equations and Inequalities in Algebraic Number Fields. — Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1991. pp.168.de Gruyter, pp. 554.Марджанишвили, К. К., Иван Матвеевич Виноградов (к восьмидесятилетию со дня рождения) // Усп. мат. наук, 1971, 26, вып. 6, с.3–6.Wang Yuan., 1991, Diophantine Equations and Inequalities in Algebraic Number Fields. — Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, pp. 168.Cassels, J. W. S., Vaughan, R. C., Ivan Matveevich Vinogradov (obituary) // Bull. London Math. Soc., 1985, 17, 584–600.Marjanishvili, K. K., 1971, Ivan Matveevich Vinogradov (to the eightieth anniversary of his birth, Usp. mat. nauk, 26, Vol. 6, pp. 3–6.Шафаревич, И. Р., Патриарх отечественной математики // Вестник АН СССР, 1991, 𝑁𝑜.9, с.96–100.Cassels, J. W. S., Vaughan, R. C., 1985, Ivan Matveevich Vinogradov (obituary), Bull. London Math. Soc., 17, pp. 584–600.Shafarevich, I. R., 1991, Patriarch of Russian Mathematics, Bulletin of the USSR Academy of Sciences, 𝑁𝑜.9, pp. 96–100.Shafarevich, I. R., 1991, Patriarch of Russian Mathematics, Bulletin of the USSR Academy of Sciences, 𝑁𝑜.9, pp. 96–100.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.