аспирант
graduate student
Настоящая работа посвящена изучению однопараметрических деформаций метрик. Мыпредполагаем наличие непрерывности длин кривых при изменении параметра, и изучаем дополнительные условия, которых будет достаточно для непрерывности расстояний. Мы отталкиваемся от наличия непрерывности длин кривых, поскольку это удобно на практике – из непрерывной зависимости римановой или финслеровой метрики от параметра очевидно вытекает непрерывность длин кривых, и чтобы получить непрерывность функции расстояния, достаточно проверить выполнение определенных условий. Мы предполагаем наличие функционалов длины, непрерывно зависящих от параметра, и рассматриваемвнутренние метрики, порожденными этими функционалами длины. В работе показывается, что компактности пространства и непрерывности длин кривых при изменении параметра не достаточно для непрерывности расстояний, и приводится соответствующий пример.Помимо этого, мы приводим специальные условия, которых достаточно для непрерывности расстояний в совокупности с ограниченной компактностью пространства. В качествеприложения, мы рассматриваем финслеровы многообразия, метрики которых непрерывно зависят от параметра. Мы показываем, что на компактных финслеровых многообразияхвыполнены достаточные условия непрерывности расстояния, из чего следует, что функция расстояния на таких многообразиях также непрерывно зависит от параметра. Последний результат обобщается на полные финслеровы многообразия. Поскольку финслеровы многообразия являются обобщением римановых многообразий, в качестве следствия мы получаем, что на компактных римановых многообразиях, метрики которых непрерывно зависятот параметра, выполнены достаточные условия непрерывности расстояния, а также получаем, что на полных римановых многообразиях, метрики которых непрерывно зависят от параметра, расстояния между точками непрерывно зависят от этого параметра.
This work is devoted to the study of one-parameter deformations of metrics. We assume that the lengths of curves are continuous when the parameter changes, and we study additionalconditions that will be sufficient for the continuity of the distances. We start from the presence of the continuity of the lengths of curves, since it is convenient in practice — the continuous dependence of the Riemannian or Finsler metric on the parameter obviously implies the continuity of the lengths of curves, and to obtain the continuity of the distance, it is enoughto check the fulfillment of certain conditions. It is shown in the paper that the compactness of space and the continuity of the lengths of curves when changing the parameter is not enough for the continuity of the distances, and an example is given. In addition, we give special conditions, which are sufficient for the continuity of the distances in combination with the boundedlycompactness of the space. As an application, we consider Finsler manifolds whose metrics continuously depend on a parameter. We show that sufficient conditions for the continuityof the distance are satisfied on compact Finsler manifolds, from which it follows that the distance function on such manifolds also continuously depends on the parameter. The last result is generalized to complete Finsler manifolds. Since Finsler manifolds are a generalization of Riemannian manifolds, as a corollary we obtain similar results for Riemannian manifolds.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.