chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-4-265-288cheb-1144Research ArticleСтатьиArticleО бифуркации решения задачи Ферма — Штейнера при 1-параметрической вариации границы в 𝐻(R2)On the bifurcation of the solution of the Fermat–Steiner problem under 1-parameter variation of the boundary in 𝐻(R2)ТропинАлександр МихайловичTropinAlexander Mikhailovich

аспирант

graduate student

amtropin@gmail.comМосковский государственный университет имени М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation202111012022224265288Copyright © Тропин А.М., 20212021Тропин А.М.Tropin A.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1144

В данной работе рассматривается задача Ферма — Штейнера в гиперпространствах с метрикой Хаусдорфа. Если 𝑋 — метрическое пространство, и фиксировано непустоеконечное подмножество 𝒜 в пространстве непустых замкнутых и ограниченных подмножеств 𝐻(𝑋), то элемент 𝐾 ∈ 𝐻(𝑋), на котором достигается минимум суммы расстоянийдо элементов 𝒜, будем называть астровершиной Штейнера, сеть, соединяющую 𝒜 с 𝐾, — минимальной астросетью, а само 𝒜 — границей. В случае ограниченно компактного𝑋 все его элементы являются компактами, а множество астровершин Штейнера непусто. В настоящей статье доказывается критерий того, когда астровершина Штейнера для одноточечных граничных компактов в 𝐻(𝑋) является одноточечной. Кроме того, получена нижняя оценка длины минимальной параметрической сети через длину астросети содноточечными вершинами, содержащимися в граничных компактах, и изучены свойства границ, для которых достигается точная оценка. Также изучены бифуркации астровершин Штейнера при 1-параметрической деформации трехэлементных границ в 𝐻(R2), которые иллюстрируют геометрические феномены, отсутствующие в классической задаче Штейнера для точек в R2.

In this paper, we consider the Fermat–Steiner problem in hyperspaces with the Hausdorff metric. If 𝑋 is a metric space, and a non-empty finite subset 𝒜 is fixed in the space of nonemptyclosed and bounded subsets 𝐻(𝑋), then we will call the element 𝐾 ∈ 𝐻(𝑋), at which the minimum of the sum of the distances to the elements of 𝒜 is achieved, the Steiner astrovertex, the network connecting 𝒜 with 𝐾 — the minimal astronet, and 𝒜 itself — the border. In the case of proper 𝑋, all its elements are compact, and the set of Steiner astrovertices is nonempty.In this article, we prove a criterion for when the Steiner astrovertex for one-point boundary compact sets in 𝐻(𝑋) is one-point. In addition, a lower estimate for the length of the minimalparametric network is obtained in terms of the length of an astronet with one-point vertices contained in the boundary compact sets, and the properties of the boundaries for which an exact estimate is achieved are studied. Also bifurcations of Steiner astrovertices under 1-parameter deformation of three-element boundaries in 𝐻(R2), which illustrate geometric phenomena that are absent in the classical Steiner problem for points in R2, are studied.

задача Ферма — Штейнераминимальное дерево Штейнерамини- мальная параметрическая сетьминимальная астросетьаcтровершина Штейнераастро- компакт Штейнерагиперпространствоограниченно компактное пространстворасстоя- ние Хаусдорфа.Fermat–Steiner problemSteiner minimal treeminimal parametric networkminimal astronetSteiner astrovertexSteiner astrocompacthyperspaceproper spaceHausdorff distance.ReferencesJarnik V., K¨ossler M. O minimalnich grafech, obsahujicich n danych bodu // Casopis pro pestovani matematiky a fysiky, 1934. Vol. 63, № 8. P. 223-235.Jarnik, V., K¨ossler, M. 1934, “On minimal graphs containing n given points”, Journal for Cultivation of Mathematics and Physics, vol. 63, no. 8, pp. 223-235.Cieslik D. 𝑘-Steiner minimal trees in metric spaces // Ernst–Moritz–Arndt–Univ. Greifswald, Inst. fur Mathematik und Informatik, 1999.Cieslik, D. 1999, “𝑘-Steiner minimal trees in metric spaces”, Ernst–Moritz–Arndt–Univ. Greifswald, Inst. fur Mathematik und Informatik.Ivanov A. O., Tuzhilin А. А. Minimal Networks. The Steiner Problems and Its Generalizations // CRC Press, Boca Raton, Fl., 1994.Ivanov, A. O., Tuzhilin, А. А. 1994, “Minimal Networks. The Steiner Problems and Its Generalizations”, CRC Press, Boca Raton, Fl.Тужилин А. А., Фоменко А.Т. Многозначные отображения, минимальные поверхности и мыльные пленки // Вестник МГУ, сер. матем., 1986, № 3. С. 3-12.Tuzhilin, A. A., Fomenko, A. T. 1986, “Multivalued mappings, minimal surfaces and soap films”. Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mekh, № 3, pp. 3-12, 117-118 [in Russian].Степанова Е. И. Бифуркации минимальных деревьев Штейнера и минимальных заполнений для невыпуклых четырехточечных границ и суботношение Штейнера евклидовой плоскости // Вестн. Моск. Ун-та., Сер. 1, Математика. Механика. 2016, Т. 71, № 2. С. 48-51.Stepanova, E. I. 2016, “Bifurcations of Steiner minimal trees and minimal fillings for nonconvex four-point boundaries and Steiner subratio for the Euclidean plane”, Moscow UniversityСтепанова Е. И. Бифуркации топологий деревьев Штейнера на плоскости // Фунд. и прикл. матем. 2016. Т. 21, № 6. С. 183-204.Mathematics Bulletin, vol. 71, pp. 79–81.Арнольд В. И. Теория катастроф // Динамические системы — 5, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, ВИНИТИ, М., 1986, Т. 5, С. 219-277Stepanova, E. I. 2020, “Bifurcations of Steiner tree topologies in the plane”, J. Math. Sci., vol. 248, pp. 788-802.Hausdorff F. Grundz¨uge der Mengenlehre. Leipzig: Veit, 1914 [reprinted by Chelsea in 1949].Arnol’d, V. I. 1986, “Catastrophe theory”, In: Itogi Nauki Tekh., Ser. Sovrem. Probl. Mat., Fundam. Napravleniya, vol. 5, pp. 219-277Schlicker S. The geometry of the Hausdorff metric // GVSU REU, Grand Valley State Univ., Allendale, MI, 2008.Hausdorff, F. 1914, “Grundz¨uge der Mengenlehre”, Veit, Leipzig [reprinted by Chelsea in 1949].Иванов А. О., Тужилин А. А. Геометрия расстояний Хаусдорфа и Громова—Хаусдорфа: случай компактов // М.: Изд-во Попечительского совета мех-мат ф-та МГУ, 2017.Schlicker, S. 2008, “The geometry of the Hausdorff metric”, GVSU REU, Grand Valley State Univ., Allendale, MI.Blackburn C. C., Lund K., Schlicker S., Sigmon P., Zupan A. An introduction to the geometry of 𝐻(R𝑛) // GVSU REU, Grand Valley State Univ., Allendale, MI, 2007.Ivanov, A. O. & Tuzhilin, A.A., 2017, Geometry of Hausdorff and Gromov—Hausdorff distances, the case of compact spaces, Izd-vo Popech. Soveta Mech.-Mat. Facult. MGU, Moscow [inЕмеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. Лекции по теории графов // Наука, М., 1990.Russian].Бураго Д. Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии // Москва— Ижевск: Изд-во Института компьютерных исследований, 2004.Blackburn, C. C., Lund, K., Schlicker, S., Sigmon, P., Zupan, A. 2007, “An introduction to the geometry of 𝐻(R𝑛)”, GVSU REU, Grand Valley State Univ., Allendale, MI.Ivanov A., Tropin A., Tuzhilin A. Fermat—Steiner problem in the metric space of compact sets endowed with Hausdorff distance // J. Geom. 2017. Vol. 108. P. 575-590.Melnikov, O., Tyshkevich, R., Yemelichev, V., Sarvanov, V. 1994, “Lectures on graph theory”, Bibliographisches Institut, Mannheim.Галстян А. Х., Иванов А. О., Тужилин А. А. Проблема Ферма — Штейнера в пространстве компактных подмножеств R𝑚 с метрикой Хаусдорфа // Матем. сб., 2021, Т. 212, № 1, С. 28-62.Burago, D.Yu., Burago, Yu. D. & Ivanov, S. V. 2001, “A Course in Metric Geometry”, Graduate Studies in Mathematics, vol.33, American Mathematical Society, Providence, RI.Gilbert E. N. and Pollak H. O., Steiner minimal trees // SIAM J. Appl. Math. 1968. Vol. 16, № 1. P. 1-29 (1968).Ivanov, A., Tropin, A. & Tuzhilin, A. 2017, “Fermat–Steiner problem in the metric space of compact sets endowed with Hausdorff distance”, J. Geom., vol. 108, pp. 575-590.Galstyan A. Kh., Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. 2021, “Fermat–Steiner problem in the space of compact sets of R𝑚 endowed with Hausdorff distance”, Matem. sb., vol. 212, № 1, p. 28-62 [inGalstyan A. Kh., Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. 2021, “Fermat–Steiner problem in the space of compact sets of R𝑚 endowed with Hausdorff distance”, Matem. sb., vol. 212, № 1, p. 28-62 [inRussian].Russian].Gilbert, E. N. & Pollak, H. O. 1968, “Steiner minimal trees”, SIAM J. Appl. Math., vol. 16, no. 1, pp. 1-29.Gilbert, E. N. & Pollak, H. O. 1968, “Steiner minimal trees”, SIAM J. Appl. Math., vol. 16, no. 1, pp. 1-29.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.