кандидат физико-математических наук, доцент
candidate of physical and mathematical sciences, associateprofessor
Работа относится к тому направлению в теории многогранников в 𝐸3, в котором изучаются классы выпуклых многогранников, расширяющих класс правильных (платоновых): многогранники таких классов сохраняют лишь некоторые свойства правильных многогранников.Ранее автором были найдены новые классы многогранников, объединённых такими условиями симметрии на элементы многогранника, при которых условия правильностиграней не предполагались заранее. При этом была доказана полнота списков рассмотренных классов.Далее автором был рассмотрен класс так называемых 𝑅𝑅-многогранников.𝑅𝑅-многогранником (от слов rombic и regular) называется выпуклый многогранник, у которого существуют симметричные ромбические вершины и существуют грани, не принадлежащие ни одной звезде этих вершин; причём все грани, не входящие в звезду ромбической вершины, являются правильными многоугольниками.Если гранная звезда 𝑆𝑡𝑎𝑟(𝑉 ) вершины 𝑉 многогранника состоит из 𝑛 равных и одинаково расположенных ромбов (не квадратов), имеющих общей вершиной 𝑉 , то 𝑉 называетсяромбической. Если вершина 𝑉 принадлежит оси вращения порядка 𝑛 звезды 𝑆𝑡𝑎𝑟(𝑉 ), то 𝑉 называется симметричной. Симметричная ромбическая вершина 𝑉 называется тупоугольной, если ромбы звезды 𝑆𝑡𝑎𝑟(𝑉 ) в вершине 𝑉 сходятся своими тупыми углами.Примером RR-многогранника является удлинённый ромбододекаэдр.Ранее автором были найдены все 𝑅𝑅-многогранники с двумя симметричными ромбическими вершинами.В настоящей работе рассматривается вопрос о существовании замкнутых выпуклых 𝑅𝑅-многогранников в 𝐸3 с одной симметричной тупоугольной ромбической вершиной и правильными гранями одного типа. Доказывается теорема о том, что существует только два таких многогранника: 13-гранник и 19-гранник. Оба этих многогранника получены изправильного: икосаэдра. Доказательство существования 19-гранника основано, в частности, на теореме А.Д.Александрова о существовании выпуклого многогранника с данной развёрткой.
The work refers to the direction in the theory of polyhedra in 𝐸3, in which classes of convex polytopes are studied that extend the class of regular (Platonic) polyhedra: polyhedra of suchclasses retain only some properties of regular polyhedra.Earlier, the author found new classes of polyhedra united by such symmetry conditions under which the conditions for the regularity of the faces were not assumed in advance. At thesame time, the completeness of the lists of the considered classes was proved.Further, the author considered the class of so-called 𝑅𝑅 -polyhedra. A 𝑅𝑅-polyhedron (from the words rombic and regular) is a convex polyhedron that has symmetric rhombic vertices and there are faces that do not belong to any star of these vertices; moreover, all faces that are not included in the star of the rhombic vertex are regular polygons.If a faceted star 𝑆𝑡𝑎𝑟(𝑉 ) of a vertex 𝑉 of a polyhedron consists of 𝑛 equal and equally spaced rhombuses (not squares) with a common vertex 𝑉 , then 𝑉 is called rhombic. If the vertex 𝑉belongs to the axis of rotation of the order 𝑛 of the star 𝑆𝑡𝑎𝑟(𝑉 ), then 𝑉 is called symmetric. A symmetric rhombic vertex 𝑉 is called obtuse if the rhombuses of the star 𝑆𝑡𝑎𝑟(𝑉 ) at the vertex𝑉 converge at their obtuse angles.An example of an 𝑅𝑅-polyhedron is an elongated rhombododecahedron.Previously, the author found all 𝑅𝑅-polyhedra with two symmetric rhombic vertices.In this paper, we consider the question of the existence of closed convex 𝑅𝑅-polyhedra in 𝐸3 with one symmetric obtuse rhombic vertex and regular faces of the same type. A theoremis proved that there are only two such polyhedra, a 13-faced and a 19-faced. Both of these polyhedra are obtained from the regular — icosahedron. The proof of the existence of a 19-hedron is based, in particular, on A.D. Aleksandrov’s theorem on the existence of a convex polyhedron with a given unfolding.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.