chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-4-168-182cheb-1138Research ArticleСтатьиArticleО гиперболическом параметре двумерной решётки сравненийOn the hyperbolic parameter of a two-dimensional lattice of comparisonsКормачеваАнтонина НиколаевнаKormachevaAntonina Nikolaevna

аспирант

postgraduate student

juska789@mail.ruДобровольскийНиколай НиколаевичDobrovol’skiiNikolai Nikolaevich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

nikolai.dobrovolsky@gmail.comРеброваИрина ЮрьевнаRebrovaIrina Yuryevna

кандидат физико-математических наук, доцент

candidate of physical and mathematical sciences

i_rebrova@mail.ruДобровольскийНиколай МихайловичDobrovol’skiiNikolai Mihailovich

профессор, доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences, professor

dobrovol@tsput.ruТульский государственный педагогический университет им. Л. Н. ТолстогоРоссияTula State Lev Tolstoy Pedagogical UniversityRussian FederationТульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, Тульский государственный университетРоссияTula State Lev Tolstoy Pedagogical University, Tula State UniversityRussian Federation202110012022224168182Copyright © Кормачева А.Н., Добровольский Н.Н., Реброва И.Ю., Добровольский Н.М., 20212021Кормачева А.Н., Добровольский Н.Н., Реброва И.Ю., Добровольский Н.М.Kormacheva A.N., Dobrovol’skii N.N., Rebrova I.Y., Dobrovol’skii N.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1138

Данная работа посвящена уточнению результатов В. А. Быковского об оценке погрешности приближенного интегрирования на классе Коробова 𝐸𝛼 𝑠 для двумерных параллелепипедальных сеток.Приведены необходимые сведения из теории цепных дробей и скобок Эйлера. С помощью теории наилучших приближений второго рода описано множество Быковского,состоящие из локальных минимумов решётки приближений Дирихле для рационального числа.В явном виде описано множество Быковского для двумерной решётки решений линейного сравнения. Получена формула, выражающая гиперболический параметр этой решётки через знаменатели подходящих дробей и скобки Эйлера и позволяющая вычислять его за 𝑂(𝑁) арифметических операций.Получены оценки гиперболической дзета-функции двумерной решётки решений линейного сравнения через сумму Быковского, которая является частичной суммой дзета-ряда для гиперболической дзета-функции решётки. Частичная сумма берется по множеству Быковского.Для суммы Быковского получены оценки сверху и снизу из которых следует, что главный член для этих сумм есть сумма 𝛼-ых степеней элементов цепной дроби для 𝑎 𝑁 делён-ный на 𝑁𝛼.В заключении отмечены актуальные направления исследований по этой тематике.

This paper is devoted to the refinement of the results of V. A. Bykovsky on the estimation of the error of approximate integration on the Korobov class 𝐸𝛼 𝑠 for two-dimensionalparallelepipedal grids.The necessary information from the theory of continued fractions and Euler brackets is given. With the help of the theory of best approximations of the second kind, the Bykovsky set consisting of local minima of the lattice of Dirichlet approximations for a rational number is described.The Bykovsky set for a two-dimensional lattice of linear comparison solutions is explicitly described. A formula is obtained expressing the hyperbolic parameter of this lattice in terms of denominators of suitable fractions and Euler brackets and allowing it to be calculated in 𝑂(𝑁) arithmetic operations.Estimates of the hyperbolic zeta function of a two-dimensional lattice of linear comparison solutions are obtained in terms of the Bykovsky sum, which is a partial sum of the zeta seriesfor the hyperbolic zeta function of the lattice. The partial sum is taken by the Bykovsky set.For the Bykovsky sum, estimates are obtained from above and from below, from which it follows that the main term for these sums is the sum of the 𝛼-th degrees of the elements of thecontinued fraction for 𝑎 𝑁 divided by 𝑁𝛼.In conclusion, the current directions of research on this topic are noted.

квадратичные поляприближение алгебраических сетокфункция ка- честваобобщённая параллелепипедальная сеткамножество Быковскогосумма Быков- скоголокальные минимумы решёткиминимальные решения сравнения.quadratic fieldsapproximation of algebraic gridsquality functiongeneralized parallelepipedal gridBykovsky setBykovsky sumlocal lattice minimaminimal comparison solutions.Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №19-41-710004_р_а.Acknowledgments: The reported study was funded by RFBR, project number 19-41-710004_r_a.ReferencesБыковский В. А. О погрешности теоретико-числовых квадратурных формул // Чебышевский сборник, 2002, т. 3, вып. 2(4), С. 27–33.Bykovskij, V.А 2002, “On the error of number-theoretic quadrature formulas”, Chebyshevskij sbornik, vol. 3, no. 2(4), pp. 27–33.Г. Ф. Вороной Об одном обобщении алгоритма непрерывных дробей // В книге Г. Ф. Вороной. Собрание сочинений в трех томах. Т. 1, С. 197–391.Voronoi, GF 1896, On Generalization of the Algorithm of Continued Fraction, Warsawa ¨University.Вронская Г. Т., Добровольский Н. Н. Отклонения плоских сеток. монография / под редакцией Н. М. Добровольского. Тула, 2012.Vronskaya, G. T., Dobrovol’skii, N. N. 2012, "Deviations of flat grids. monograph" , edited by N. M. Dobrovol’skii. Tula.О. А. Горкуша, Н. М. Добровольский. Об оценках гиперболической дзета-функции решёток // Чебышевский сборник, 2005, т. 6, вып. 2(14), С. 130–138.O. A. Gorkusha, N. M. Dobrovolsky, 2005, "On estimates of hyperbolic zeta function of lattices" // Chebyshevsky Collection, vol. 6, issue 2(14), pp. 130-138.Б. Н. Делоне. Петербургская школа теории чисел. — М.–Л. Издательство Академии наук СССР. 1947 г., 422 с.B. N. Delone., 1947, "St. Petersburg School of Number Theory" — M.–L. Publishing House of the Academy of Sciences of the USSR. 422 p.Б. Н. Делоне, Д. К. Фаддеев. Теория иррациональностей третьей степени // Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 11, Изд-во АН СССР, М.–Л., 1940, С. 3–340.B. N. Delone, D. K. Faddeev., 1940, "The theory of irrationalities of the third degree" // Tr. Math. V. A. Steklov Institute, 11, Publishing House of the USSR Academy of Sciences, M.-L., pp. 3-340.Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Пихтильков С. А., Родионова О. В., Устян А. Е. Об одном алгоритме поиска оптимальных коэффициентов // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5, вып. 1. Тула, 1999. С. 51–71.Dobrovol’skii, N. M., Esayan, А.R., Pikhtil’kov, S.А., Rodionova, O.V. & Ustyan, А.E. 1999, “On a single algorithm for finding optimal coefficients”, Izvestiya TulGU. Seriya Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 5, no. 1, pp. 51–71.Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Реброва И. Ю. Об одном рекурсивном алгоритме для решёток // Теория приближений и гармонический анализ: Тез. докл. Междунар. конф. Тула, 1998.Dobrovol’skii, N. M., Esayan, А.R. & Rebrova, I. YU. 1998, “On a recursive algorithm for lattices”, Teoriya priblizhenij i garmonicheskij analiz: Tezisy doklada MezhdunarodnojДобровольский Н. М., Есаян А. Р., Реброва И. Ю. Об одном рекурсивном алгоритме для решёток // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5, вып. 3. Тула, 1999. C. 38–51.konferentsii (Approximation theory and harmonic analysis: proceedings of the International conference), Tula, Russia.Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. — М.: Наука. 1965 г. — 176 с.Dobrovol’skii, N. M., Esayan, А.R. & Rebrova, I. YU. 1998, “On a recursive algorithm for lattices”, Izvestiya TulGU. Seriya Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 5, no. 3, pp. 38–51.Касселс Д. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965. 422 с.Davenport, H., 1965, "The higher arithmetic" , Moscow, Nauka — pp. 176.Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 19–25.Kassels, D. 1965, Vvedenie v geometriyu chisel, [Introduction to the geometry of numbers], Mir, Moscow, Russia.Коробов Н. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов // ДАН СССР 132. 1960. № 5. С. 1009–1012.Korobov, N.M. 1959, “The evaluation of multiple integrals by method of optimal coefficients”, Vestnik Moskovskogo universiteta, no. 4, pp. 19–25.Михляева А. В. Приближение квадратичных алгебраических решёток и сеток целочисленными решётками и рациональными сетками // Чебышевcкий сборник, 2018, т. 19, вып. 3. С. 241–256.Korobov, N.M. 1960, “Properties and calculation of optimal coefficients”, Doklady Аkademii nauk SSSR, vol. 132, no. 5, pp. 1009–1012.Михляева А. В. Функция качества для приближения квадратичных алгебраических сеток // Чебышевcкий сборник, 2019, т. 20, вып. 1. С. 307–312.Mikhlyaeva, A. V., 2018, "Approximation of quadratic algebraic lattices and nets by integer lattices and rational nets" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 3, pp. 241–256.Сушкевич А. К. Теория чисел.– Харьков: Из-во Харьковского гос. ун-та им. А. М. Горького. 1956. 204 с.Mikhlyaeva, A. V., 2019, "Quality function for the approximation of quadratic algebraic nets" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 307–312.А. Я. Хинчин. Цепные дроби. — М.: Физматлит, 1960 — 112 с.Sushkevich A. K., 1956, "Number theory" – Kharkiv: From the Kharkiv State University named after A.M. Gorky. 204 p.A. Y. Khinchin, 1960, "Chain fractions" — M.: Fizmatlit, — 112 p.A. Y. Khinchin, 1960, "Chain fractions" — M.: Fizmatlit, — 112 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.