доктор физико-математических наук, профессор
doctor of physical and mathematical sciences, professor
В 2012 году Салем Бен Саид, Кобаяши и Орстед определили двупараметрическое (𝑘, 𝑎)-обобщенное преобразование Фурье, действующее в пространствах с весом |𝑥|𝑎−2𝑣𝑘(𝑥),𝑎 > 0, где 𝑣𝑘(𝑥) — вес Данкля. Наиболее интересны случаи 𝑎 = 2 и 𝑎 = 1. При 𝑎 = 2 обобщенное преобразование Фурье совпадает с преобразованием Данкля и оно хорошо изу-чено. В случае 𝑎 = 1 гармонический анализ, важный, в частности, в задачах квантовой механики, изучен пока еще не достаточно. Одним из существенных элементов гармониче-ского анализа является ограниченный оператор сдвига, позволяющий определить свертку и структурные характеристики функций. При 𝑎 = 1 имеется оператор сдвига 𝜏 𝑦. Его 𝐿𝑝-ограниченность установлена Салемом Бен Саидом и Делеавалом, но только на радиальных функциях и при 1 ⩽ 𝑝 ⩽ 2. Ранее при 𝑎 = 1 мы предложили новый положительныйоператор обобщенного сдвига 𝑇𝑡𝑓(𝑥), 𝑡 ∈ R+, 𝑥 ∈ R𝑑, и доказали его 𝐿𝑝-ограниченность по 𝑥. В настоящей работе доказана его 𝐿𝑝-ограниченность по 𝑡. Для оператора сдвига𝜏 𝑦, 𝐿𝑝-ограниченность на радиальных функциях установлена и для 2 < 𝑝 < ∞. С помощью оператора 𝑇𝑡 определена свертка и для нее доказано неравенство Юнга. Для (𝑘, 1)-обобщенных средних, определяемых с помощью свертки, установлены достаточные условия 𝐿𝑝-сходимости и сходимости почти всюду. Выполнение этих условий проверено для аналогов классических методов суммирования Гаусса-Вейерштрасса, Пуассона, Бохнера –Рисса.
In 2012, Salem Ben Saˇid, Kobayashi, and Orsted defined the two-parametric (𝑘, 𝑎)- generalized Fourier transform, acting in the space with weight |𝑥|𝑎−2𝑣𝑘(𝑥), 𝑎 > 0, where 𝑣𝑘(𝑥) is the Dunkl weight. The most interesting cases are 𝑎 = 2 and 𝑎 = 1. For 𝑎 = 2 the generalized Fourier transform coincides with the Dunkl transform and it is well studied. In case 𝑎 = 1 harmonic analysis, which is important, in particular, in problems of quantum mechanics, has not yet been sufficiently studied. One of the essential elements of harmonic analysis is the bounded translation operator, which allows one to determine the convolution and structural characteristics of functions. For 𝑎 = 1, there is a translation operator 𝜏 𝑦. Its 𝐿𝑝-boundednesswas recently established by Salem Ben Saˇid and Deleaval, but only on radial functions and for 1 ⩽ 𝑝 ⩽ 2. Earlier, we proposed for 𝑎 = 1 a new positive generalized translation operator andproved that it is 𝐿𝑝 -bounded in 𝑥. In this paper, it is proved that it is 𝐿𝑝 -bounded in 𝑡. For the translation operator 𝜏 𝑦, 𝐿𝑝-boundedness on radial functions is established for 2 < 𝑝 < ∞. The operator 𝑇𝑡 is used to define a convolution and to prove Young’s inequality. For (𝑘, 1)-generalized means defined by convolution, sufficient conditions for 𝐿𝑝-convergence and convergence almost everywhere are established. The fulfillment of these conditions is verified for analogues of the classical summation methods of Gauss–Weierstrass, Poisson, Bochner–Riesz.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.