доктор физико-математических наук
doctor of physical and mathematical sciences
В работе изучаются точные 𝐿𝑝-константы Никольского для случая римановых симметрических многообразий M𝑑 ранга 1. Данные пространства классифицированы полностьюи включают единичную евклидову сферу S𝑑, а также проективные пространства P𝑑(R), P𝑑(C), P𝑑(H), P16(Ca). На этих многообразиях имеется общий гармонический анализ, вчастности, определены подпространства полиномов Π𝑛(M𝑑) порядка не выше 𝑛. В общем случае точная 𝐿𝑝-константа Никольского для подпространства 𝑌 ⊂ 𝐿∞ определяется равенством𝒞(𝑌,𝐿𝑝) = sup𝑓∈(𝑌 ∩𝐿𝑝)∖{0}‖𝑓‖∞‖𝑓‖𝑝.В.А. Иванов (1983) привел асимптотику𝒞(Π𝑛(M𝑑),𝐿𝑝(M𝑑)) ≍ 𝑛𝑑/𝑝, 𝑛 → ∞, 𝑝 ∈ [1,∞).Для случая сферы этот результат был значительно усилен автором совместно с F. Dai и S. Tikhonov (2020):𝒞(Π𝑛(S𝑑),𝐿𝑝(S𝑑)) = 𝒞(ℰ𝑑1 ,𝐿𝑝(R𝑑))𝑛𝑑/𝑝(1 + 𝑜(1)), 𝑛 → ∞, 𝑝 ∈ (0,∞),где ℰ𝑑1 — множество целых функций экспоненциального сферического типа не выше 1, ограниченных на R𝑑. M.I. Ganzburg (2020) перенес это равенство на случай многомерного тора T𝑑 и тригонометрических полиномов. Для 𝑑 = 1 данные результаты вытекают изосновополагающей работы E. Levin и D. Lubinsky (2015).В совместной работе автора и И.А. Мартьянова (2020) доказаны следующие явные границы сферической константы Никольского, которые уточняют приведенные выше результаты при 𝑝 ⩾ 1:𝑛𝑑/𝑝 ⩽ 𝒞(Π𝑛(S𝑑),𝐿𝑝(S𝑑))𝒞(ℰ𝑑1 ,𝐿𝑝(R𝑑))⩽(︀𝑛 + 2⌈𝑑+12𝑝 ⌉)︀𝑑/𝑝, 𝑛 ∈ Z+, 𝑝 ∈ [1,∞).Данный результат был доказан при помощи одномерного варианта задачи для случая периодического веса Гегенбауэра.Развитие данного метода позволяет доказать следующий общий результат: при 𝑝 ⩾ 1𝑛𝑑/𝑝 ⩽ 𝒞(Π𝑛(M𝑑),𝐿𝑝(M𝑑))𝒞(ℰ𝑑1 ,𝐿𝑝(R𝑑))⩽(︀𝑛 + ⌈𝛼𝑑+3/2𝑝 ⌉ + ⌈𝛽𝑑+1/2𝑝 ⌉)︀𝑑/𝑝,
где 𝛼𝑑 = 𝑑/2 − 1, 𝛽𝑑 = 𝑑/2 − 1, −1/2, 0, 1, 3 соответственно для S𝑑, P𝑑(R), P𝑑(C), P𝑑(H), P16(Ca). Доказательство данного результата опирается на связь гармонического анализана M𝑑 с анализом Якоби на [0, 𝜋] и T с периодическим весом⃒⃒2 sin 𝑡2⃒⃒2𝛼+1⃒⃒cos 𝑡2⃒⃒2𝛽+1. Также приведены родственные результаты для тригонометрических констант Никольского в 𝐿𝑝на T с весом Якоби и констант Никольского для целых функций экспоненциального типа в 𝐿𝑝 на R со степенным весом.
In this paper, we study the sharp 𝐿𝑝-Nikol’skii constants for the case of Riemannian symmetric manifolds M𝑑 of rank 1. These spaces are fully classified and include the unit Euclidean sphere S𝑑, as well as the projective spaces P𝑑(R), P𝑑(C), P𝑑(H), P16(Ca). There is a common harmonic analysis on these manifolds, in particular, the subspaces of polynomials Π𝑛(M𝑑) of order at most 𝑛 are defined. In the general case, the sharp 𝐿𝑝-Nikol’skii constant for the subspace 𝑌 ⊂ 𝐿∞ is defined by the equality𝒞(𝑌,𝐿𝑝) = sup𝑓∈(𝑌 ∩𝐿𝑝)∖{0}‖𝑓‖∞‖𝑓‖𝑝.V.A. Ivanov (1983) gave the asymptotics𝒞(Π𝑛(M𝑑),𝐿𝑝(M𝑑)) ≍ 𝑛𝑑/𝑝, 𝑛 → ∞, 𝑝 ∈ [1,∞).For the case of a sphere, this result was significantly improved by the author together with F. Dai and S. Tikhonov (2020):𝒞(Π𝑛(S𝑑),𝐿𝑝(S𝑑)) = 𝒞(ℰ𝑑1 ,𝐿𝑝(R𝑑))𝑛𝑑/𝑝(1 + 𝑜(1)), 𝑛 → ∞, 𝑝 ∈ (0,∞),where ℰ𝑑1 is the set of entire functions of exponential spherical type at most 1 bounded on R𝑑.M.I. Ganzburg (2020) transferred this equality to the case of the multidimensional torus T𝑑 and trigonometric polynomials. For 𝑑 = 1, these results follow from the fundamental work ofE. Levin and D. Lubinsky (2015).In a joint work of the author and I.A. Martyanov (2020), the following explicit boundaries of the spherical Nikol’skii constant were proved, which refine the above results for 𝑝 ⩾ 1:𝑛𝑑/𝑝 ⩽ 𝒞(Π𝑛(S𝑑),𝐿𝑝(S𝑑))𝒞(ℰ𝑑1 ,𝐿𝑝(R𝑑))⩽(︀𝑛 + 2⌈𝑑+12𝑝 ⌉)︀𝑑/𝑝, 𝑛 ∈ Z+, 𝑝 ∈ [1,∞).This result was proved using a one-dimensional version of the problem for the case of a periodic Gegenbauer weight.The development of this method allows us to prove the following general result: for 𝑝 ⩾ 1𝑛𝑑/𝑝 ⩽ 𝒞(Π𝑛(M𝑑),𝐿𝑝(M𝑑))𝒞(ℰ𝑑1 ,𝐿𝑝(R𝑑))⩽(︀𝑛 + ⌈𝛼𝑑+3/2𝑝 ⌉ + ⌈𝛽𝑑+1/2𝑝 ⌉)︀𝑑/𝑝,where 𝛼𝑑 = 𝑑/2 − 1, 𝛽𝑑 = 𝑑/2 − 1, −1/2, 0, 1, 3 respectively for S𝑑, P𝑑(R), P𝑑(C), P𝑑(H), P16(Ca). The proof of this result is based on the connection of harmonic analysis on M𝑑 with Jacobi analysis on [0, 𝜋] and T with periodic weight⃒⃒2 sin 𝑡2⃒⃒2𝛼+1⃒⃒cos 𝑡2⃒⃒2𝛽+1. Also we give related results for the trigonometric Nikol’skii constants in 𝐿𝑝 on T with Jacobi weight and Nikol’skiiconstants for entire functions of exponential type in 𝐿𝑝 on R with power weight.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.