chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-4-88-99cheb-1133Research ArticleСтатьиArticleО проблеме сопряженности слов в некотором классе подгрупп групп АртинаOn the problem of conjugacy of words in a certain class of subgroups of Artin groupsБезверхнийВладимир НиколаевичBezverkhniiVladimir Nicolaevich

профессор, доктор физико-математических наук

professor, doctor of physical and mathematical sciences

nbezv@rambler.ruБезверхняяНаталия БорисовнаBezverkhnyayaNatalia Borisovna

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

vnbezv@rambler.ruАкадемия гражданской защиты МЧС РоссииРоссияAcademy of Civil Protection of the Ministry of Emergency Situations of RussiaRussian Federation2021100120222248899Copyright © Безверхний В.Н., Безверхняя Н.Б., 20212021Безверхний В.Н., Безверхняя Н.Б.Bezverkhnii V.N., Bezverkhnyaya N.B.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1133

Одной из основных проблем в комбинаторной теории групп является проблема равенства и сопряжённости слов. Известно, что в классе конечноопределенных групп даннаяпроблема алгоритмически неразрешима. Возникает задача изучения данных проблем в определенных классах групп, а также, наследуют ли подгруппы данного класса группалгоритмическую разрешимость проблемы сопряженности слов.Д. Коллинзом и К. Миллером была определена группа с разрешимой проблемой сопряженности слов, содержащая подгруппу конечного индекса, в которой не разрешимапроблема сопряженности слов. А также построена группа с неразрешимой проблемой сопряженности слов, содержащая подгруппу конечного индекса с разрешимой проблемойсопряженности слов.Э. Артином были определены группы кос и им же было доказано, что в группах кос алгоритмически разрешима проблема равенства слов. А.А. Марков построил алгебраическую теорию групп кос и передоказал, используя построенную теорию, проблему равенства слов.Ф. Гарсайд доказал разрешимость проблемы сопряженности слов в группах кос B𝑛+1.Э. Брискорн и К. Сайто, используя идеи Ф. Гарсайда, доказали разрешимость проблемы равенства и сопряженности слов в группах Артина конечного типа. Известно, что данномуклассу групп принадлежат группы кос.Интерес представляет исследование разрешимости данной проблемы в подгруппах групп данного класса групп, в частности, в нормальном делителе, порожденном квадратами образующих группы называемой крашенной подгруппой данной группы.В [1] доказано, что в крашенной подгруппе групп Артина конечного типа проблема сопряженности слов разрешима.Известно, что в группах Артина с древесной структурой проблема сопряженности слов также разрешима. [2]. В данной статье доказывается, что крашенные подгруппы групп Артина с древесной структурой наследуют свойство положительной разрешимости проблемы сопряженности слов.

One of the main problems in combinatorial group theory is the problem of equality and conjugacy of words. It is known that this problem is algorithmically unsolvable in the class of finitely defined groups. The problem arises of studying these problems in certain classes of groups, as well as whether subgroups of this class of groups inherit the algorithmic solvability of the word conjugacy problem.D. Collins and K. Miller defined a group with a solvable word conjugacy problem containing a subgroup of finite index in which the word conjugacy problem is not solvable. We also construct a group with an unsolvable word conjugacy problem containing a subgroup of finite index with a solvable word conjugacy problem.E. Artin defined braid groups and proved that the problem of word equality is algorithmically solvable in braid groups. A. A. Markov constructed an algebraic theory of braid groups and reproved, using the constructed theory, the problem of word equality.F. Garside proved that the conjugacy problem of words in braid groups B_(n+1) is solvable.Saito, using the ideas Of F. Garside, proved the solvability of the problem of equality and conjugacy of words in Artin groups of finite type. It is known that this class of groups belongsto braid groups.The interest is to study the solvability of this problem in subgroups of the class groups, in particular, in the normal divisor generated by the squares forming a group called paintedsubgroup of this group.In [1] it is proved that in a colored subgroup of Artin groups of finite type, the word conjugacy problem is solvable.It is known that in Artin groups with a tree structure, the word conjugacy problem is also solvable. [2]. In this paper, we prove that colored subgroups of Artin groups with a tree structureinherit the property of positive solvability of the word conjugacy problem.

Группы Артинакрашенная подгруппапроблема сопряженности слов.Artin groupscolored subgroupword conjugation problem.Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №19-41-710002_р_а.ReferencesБезверхний В. Н., Гринблат В. А. Решение обобщенной проблемы сопряженности слов в крашенных подгруппах групп Артина конечного типа. ∖∖ Мат. заметки. Т. 79, Вып. 5,Bezverkhny V. N., Grinblat V. A. Solution of the generalized problem of conjugacy of words in colored subgroups of Artin groups of finite type. ∖∖ Mate. notes. Vol. 79, Issue 5, 2006.Bezverkhny V. N., Karpova O. Yu. The problem of equality and conjugacy in Artin groups with wood structure.∖∖ WPI. Tula state. UN-TA. Ser. «Mathematics. Mechanics. Informatics". Vol.Bezverkhny V. N., Karpova O. Yu. The problem of equality and conjugacy in Artin groups with wood structure.∖∖ WPI. Tula state. UN-TA. Ser. «Mathematics. Mechanics. Informatics". Vol.Безверхний В. Н., Карпова О. Ю. Проблема равенства и сопряженности в группах Артина с древесной структурой.∖∖ Изв. Тульского гос. ун-та. Сер. «Математика. Механика.Issue 1. "Matematika". Tula, 2006Инфор¬матика». Т.11. Вып.1. «Математика». –Тула, 2006. С. 67-82.Garsid F. A. The braid groups and other groups ∖∖ Quart. Math. Oxford. ser (2), 1969, №20, p. 235-254.Garsid F. A. The braid groups and other groups ∖∖Quart. Math. Oxford. ser(2), 1969, №20, p. 235-254.Briskorn E., Saito K. Artin groups and Coxeter groups ∖∖ Mathematics. 1974, vol. 18, no. 6, Pp. 56-79., Pp. 67-82.Брискорн Э., Сайто К. группы Артина и группы Кокстера ∖∖ Математика. 1974, т. 18, №6, С. 56-79.Appel K. J., Schupp E. Artin group and infinite Coxeter groups∖∖ Invent math, 1984, p. 50-78.Appel K. J., Schupp E. Artin group and infinite Coxeter groups ∖∖ Invent math, 1984, p. 50-78.Appel K. J. On Artin groups and Coxeter groups of large type ∖∖ Contempor. Math., 1984, p. 50-78.Appel K. J. On Artin groups and Coxeter groups of large type ∖∖ Contempor. Math., 1984, p. 50-78.Bezverkhny V. N. Solving the problem of conjugacy of words in Artin and Coxeter groups of large type. ∖∖ Algorithmic problems of the theory of groups and semigroups. collection ofБезверхний В. Н. Решение проблемы сопряженности слов в группах Артина и Кокстера большого типа. ∖∖ Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Меж. вуз. сборник науч. трудов. Тула, 1986, С. 26-61.scientific works. Tula, 1986, Pp. 26-61.Безверхний В. Н. О группах Артина, Кокстера с древесной структурой ∖∖ V Международная конференция. Алгебра и теория чисел. Современные проблемы и их приложения.Bezverkhny V. N. about Artin and Coxeter groups with wood structure ∖∖ V international conference. Algebra and number theory. Modern problems and their applications. Thesis ofТезисы докладов. Тула. 2003, С. 33-34.reports. Tula. 2003, Pp. 33-34.Безверхний В. Н. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Артина большого типа ∖∖ Фундаментальная и прикладная математика, 1999, С. 1-38.Bezverkhny V. N. Solving the problem of generalized conjugacy of words in large-type Artin groups ∖∖ Fundamental and applied mathematics, 1999, Pp. 1-38.Безверхний В. Н., Безверхняя Н. Б. Решение проблемы равенства и сопряженности слов в некотором классе групп Артина. ∖∖ Фундаментальная и прикладная математика, 2019, том 22, №4, С.9-27Bezverkhny V. N., Bezverkhnyaya N. B. Solving the problem of equality and conjugacy of words in a certain class of Artin groups. ∖∖ Fundamental and applied mathematics, 2019, vol. 22, no. 4, P. 9-27Безверхний В. Н., Инченко О. В. Проблема сопряженности подгрупп в конечнопорожденных группах Кокстера с древесной структурой. ∖∖ Чебышевский сборник, 2010. — Т.11, № 3. С. 32-56.Bezverkhny V. N., Inchenko O. V. the problem of conjugacy of subgroups in finite-born Coxeter groups with wood structure.∖∖ Chebyshev collection, 2010. — Vol. 11, No. 3. Pp. 32-56.Безверхний В. Н., Безверхняя Н. Б. Решение проблемы сопряженности слов в некотором классе подгрупп Артина с древесной структурой. ∖∖ Алгебра и теория чисел, и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения. Материалы XV межд. конф. Посвященной 100-летию со дня рождения Н.М. Коробова Тула 2018 С. 67-69.Bezverkhny V. N., Bezverkhnyaya N. B. Solving the problem of conjugation of words in a certain class of Artin subgroups with a tree structure. ∖∖ Algebra and number theory andCollins D., Miller C. The conjugacy problem and subgroups of finite index. ∖∖ Proc. London Math. Soc. (3)34 1977? №3, P.535-556.discrete geometry: modern problems and applications. Materials of the XV international Conf. Dedicated to the 100th anniversary of the birth of N. M. Korobov Tula 2018 P. 67-69.Collins D., Miller C. The conjugacy problem and subgroups of finite index.∖∖ Proc. London Math. Soc. (3)34 1977? №3, P.535-556.Collins D., Miller C. The conjugacy problem and subgroups of finite index.∖∖ Proc. London Math. Soc. (3)34 1977? №3, P.535-556.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.