chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-4-7-49cheb-1132Research ArticleСтатьиArticleСуммы Гаусса и приложение их к доказательству закона взаимности квадратичных вычетовGaussian sums and their application to the proof of quadratic reciprocity lawВиноградовИван МатвеевичVinogradovIvan Matveevich

доктор физико-математических наук, профессор, академик Академии наук СССР

doctor of physical and mathematical sciences, professor,academician of the USSR Academy of Sciences.

202110012022224787Copyright © Виноградов И.М., 20212021Виноградов И.М.Vinogradov I.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1132

Впервые публикуется текст дипломной работы И. М. Виноградова, выполненной им под руководством Я. В. Успенского на математическом отделении физико-математического факультета Петербургского университета в 1914 г.

This is the first publication of I. M. Vinogravos’s senior thesis written under the scientific guidance of Ya. V. Uspensky at the mathematical department of the Faculty of physics andmathematics of Petersbourg’s University in 1914.

суммы Гауссасимвол Лежандраквадратичные вычеты и невычетызакон взаимностиGaussian sumsLegendre symbolquadratic residues and non-residuesquadratic reciprocity lawReferencesУспенский Я.В., Соображения о возможно целесообразном преподавании математики вUspensky J.V., 1999, The ideas concerning the possibly expedient teaching mathematics at the future Institute of Land Improvement Engineers. The publication of A.A. Sergeev (with preface and comments), Historical and mathematical researches, no. № 4(39), pp. 114-123 (in Russian).проектируемом институте инженеров земельных улучшений. Предисловие, публикация и комментарии А.А. Сергеева // Историко-математические исследования. 1999. № 4(39).Ermolaeva N., 1997, “Uspensky, Yakov Victorovich”, in: Russian abroad: Golden book of emigration. The first third of the XX century. Encyclopedic Biographical Dictionary. Moscow,С. 114–123.ROSSPEN (in Russian).Ермолаева Н., Успенский, Яков Викторович. В сб.: Русское зарубежье: Золотая книга эмиграции. Первая треть XX века. Энциклопедический биографический словарь. М., РОС-Karatsuba A.A., 1995, “I.M. Vinogradov and his method of trigonometric sums”, Proc. Steklov Inst. Math., vol. 207, pp. 1-33.СПЭН, 1997.Karatsuba A.A., 1981, “Ivan Matveevich Vinogradov (on his ninetieth birthday)”, Russian Math. Surveys, vol. 36, no. 6, pp. 1–17.Карацуба А.А., И.М. Виноградов и его метод тригонометрических сумм // Теория чисел и анализ, Сборник статей. Труды Международной конференции по теории чисел, посвященной 100-летию со дня рождения академика И.М. Виноградова. Тр. МИАН, Т. 207, М.,Delone B.N., 1947, “Peterboug’s school of number theory”, Moscow-Leningrad, Publ. Akad. Nauk SSSR (in Russian).Наука, 1994. С. 3–20.Karatsuba A.A., 1978, “A brief sketch of scientific, organizing and pedagogical activity”, in: Ivan Matveevich Vinogradov. Materials for the bibliography of scientists of the USSR. Ser. Math., no. 14. N., Nauka, pp. 7-16 (in Russian).Карацуба А.А., Иван Матвеевич Виноградов (к девяностолетию со дня рождения) // УМН. 1981. Т. 36. № 6(222). С. 3–16.Vinogradov I.M., 1918, “Sur la distribution des residus et des non-residus des puissances”, J. Phys.-Math. Soc. Perm. Univ., vol. 1, pp. 94–98.Делоне Б.Н., Петербургская школа теории чисел. М.-Л., Изд-во АН СССР, 1947.Chandrasekharan K., 1968, “Introduction to Analytic Number Theory”, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York.Карацуба А.А., Краткий очерк научной, научно-организационной и педагогической деятельности. В кн.: Иван Матвеевич Виноградов. Материалы к библиографии ученых СССР.Berndt B.C., Evans, R.J., 1981, “The determination of Gauss sums”, Bull. Amer. Math. Soc., vol. 5, no. 2, pp. 107–129.Серия математики, вып. 14. М., Наука, 1978. С. 7–16.Berndt B.C., Evans, R.J., Williams K.S., 1998, “Gauss and Jacobi Sums”, John Wiley & Sons, Inc.Виноградов И.М., Sur la distribution des residus et des non-residus des puissances // Журн. физ.-матем. об-ва при Пермском ун-те. 1918. Т. 1. С. 94–98.Gauss K.F., 1811, “Summatio quarumdam serierum singularium”, Commentat. Soc. Regiae Sci. Gott. Recent., vol. 1.Чандрасекхаран К., Введение в аналитическую теорию чисел. М., Мир, 1974.Gauss K.F., 1959, “Works in Number Theory”, Moscow, Publ. Akad. Nauk SSSR (in Russian).Berndt B.C., Evans, R.J., The determination of Gauss sums // Bull. Amer. Math. Soc. 1981. Vol. 5. № 2. P. 107–129.Dirichlet L., 1835, “ ¨Ueber eine neue Anwendung bestimmter Integrate auf die Summation endlicher oder unendlicher Reihen”, Abh. K. Preuss. Akad. Wiss., s. 391–407.Berndt B.C., Evans, R.J., Williams K.S., Gauss and Jacobi Sums. John Wiley & Sons, Inc., 1998.Cauchy A., 1840, “M´ethode simple et nouvelle pour la d´etermination compl`ete des sommes altern´ees, form´ees avec les racines primitives des ´equations binˆomes”, C. R. Acad. Sci. Paris, vol. 10, pp. 560–572.Gauss K.F., Summatio quarumdam serierum singularium // Commentat. Soc. Regiae Sci. Gott. Recent. 1811. Vol. 1.Gauss K.F., 1863, Werke. Bd. 2. G¨ottingen, s. 11–45.Гаусс К.Ф., Труды по теории чисел. М., Изд-во АН СССР, 1959.Dirichlet G.L., 1889, Werke. Bd. 1. Berlin, s. 239–256.Dirichlet L., ¨Ueber eine neue Anwendung bestimmter Integrate auf die Summation endlicher oder unendlicher Reihen // Abh. K. Preuss. Akad. Wiss. 1835. S. 391–407.Cauchy A., 1885, OEuvres compl`etes d’Augustin Cauchy. Ire S´erie. T. V. Paris, p. 152–166.Cauchy A., M´ethode simple et nouvelle pour la d´etermination compl`ete des sommes altern´ees,Fikhtengoltz G.M., 1966, Differential and integral calculus course, vol. II. 6th ed., Moscow, Nauka.form´ees avec les racines primitives des ´equations binˆomes // C. R. Acad. Sci. Paris. 1840. Vol. 10. P. 560–572.form´ees avec les racines primitives des ´equations binˆomes // C. R. Acad. Sci. Paris. 1840. Vol. 10. P. 560–572.Gauss K.F., Werke. Bd. 2. G¨ottingen, 1863. S. 11–45.Gauss K.F., Werke. Bd. 2. G¨ottingen, 1863. S. 11–45.Dirichlet G.L., Werke. Bd. 1. Berlin, 1889. S. 239–256.Dirichlet G.L., Werke. Bd. 1. Berlin, 1889. S. 239–256.Cauchy A., OEuvres compl`etes d’Augustin Cauchy. Ire S´erie. T. V. Paris, 1885. P. 152–166.Cauchy A., OEuvres compl`etes d’Augustin Cauchy. Ire S´erie. T. V. Paris, 1885. P. 152–166.Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. II. 6-е изд. М., Наука, 1966.Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. II. 6-е изд. М., Наука, 1966.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.