chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-3-467-473cheb-1107Research ArticleКраткие сообщенияО глобальной разрешимости уравнения Кана — ХиллардаOn the global solvability of the Kana–Hillard equationТарамоваХеди СумановнаTaramovaKhedi Sumanovna

кандидат физико-математических наук, 

candidate of physical and mathematical sciences

thedi@yandex.ruЧеченский государственный педагогический университетРоссияChechen State Pedagogical UniversityRussian Federation202112112021223467473Copyright © Тарамова Х.С., 20212021Тарамова Х.С.Taramova K.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1107

В статье исследуется глобальная по времени разрешимость решения задачи Коши для нелинейного дифференциального уравнения в частных производных соболевского типа,не разрешенного относительно временной производной первого порядка, так называемого уравнения Кана-Хилларда, в банаховом пространстве непрерывных ограниченных функций на всей числовой оси, для которых существуют пределы на минус и плюс бесконечности. Доказано существование классического решения (под которым понимается достаточно гладкая функция, имеющая все непрерывные производные нужного порядка и удовлетворяющая уравнению в каждой точке области задания рассматриваемой задачи Коши) на произвольном временном интервале. Получены априорные оценки, обеспечивающие существование глобального решения задачи Коши для псевдопараболического уравненияКана-Хилларда, так как классическое решение 𝑣 (𝑥, 𝑡) с отрезка [0, 𝑡*], принимая 𝑣 (𝑥, 𝑡*) за новую начальную функцию, продолжается до классического решения 𝑣 (𝑥, 𝑡) на отрезке [0, 𝑡* + 𝛿] , где величина 𝛿 зависит только от нормы начальной функции и параметров уравнения Кана-Хилларда. Повторяя этот процесс достаточно большое число раз получим классическое решение рассматриваемой задачи Коши на произвольном временном интервале.

for a nonlinear partial differential equation of Sobolev type that is not resolved with respect to the time derivative of the first order, the so-called Cahn-Hillard equation, in the Banach space of continuous bounded functions on the entire number axis, for which there are limits by minus and plus infinity. The existence of a classical solution is proved (by which we mean a sufficiently smooth function that has all continuous derivatives of the required order and satisfies the equation at each point of the domain of the considered Cauchy problem) on an arbitrarytime interval. A priori estimates are obtained that ensure the existence of a global solution to the Cauchy problem for the pseudoparabolic Cahn-Hillard equation, since the classical solution 𝑣 (𝑥, 𝑡) from the interval [0, 𝑡*], taking 𝑣 (𝑥, 𝑡*) as a new initial function, continues to the classical solution 𝑣 (𝑥, 𝑡) on the interval [0, 𝑡* + 𝛿], where the value of 𝛿 depends only on the norm of the initial function and the parameters of the Cahn-Hillard equation. Repeating this process, a sufficiently large number of times, we obtain the classical solution of the considered Cauchy problem on an arbitrary time interval.

уравнение Кана-Хиллардаоценки решения уравненияглобальная разрешимость.Cahn-Hilliard equationestimates for the solution of an equationglobal solvability.ReferencesCahn, J.W. Free energy of a non-uniform system, Part I: Interfacial free energy / J.W. Cahn,Cahn, J.W. Free energy of a non-uniform system, Part I: Interfacial free energy / J.W. Cahn,J.E. Hilliard // J. Chemical Physics. – 1958. – 28, – № 1. – P. 258–267.J.E. Hilliard // J. Chemical Physics. – 1958. – 28, – No. 1. – P. 258–267.Elliot, Ch. On the Chan–Hilliard equation / Ch. Elliot, S. Zheng // Arch. Rat. Mech. Anal. –Elliot, Ch. On the Chan – Hilliard equation / Ch. Elliot, S. Zheng // Arch. Rat. Mech. Anal.– 96, – № 4. – P. 339–357.– 1986. – 96, – No. 4. – P. 339–357.Bai, F. The viscous Cahn-Hilliard equation I. Computations / F. Bai, C.M. Elliott, A. Gardiner,Bai, F. The viscous Cahn–Hilliard equation I. Computations / F. Bai, C.M. Elliott, A. Gardiner,A. Spence, A.M. Stuart // Nonlinearity. – 1995. – № 8. – P. 131–160.A. Spence, A.M. Stuart // Nonlinearity. – 1995. – No. 8. – P. 131–160.Elliott, C. M. Viscous Cahn-Hilliard Equation II. Analysis / C.M. Elliott, A.M. Stuart //Elliott, C. M. Viscous Cahn–Hilliard Equation II. Analysis / C.M. Elliott, A.M. Stuart //Journal of differential equations. – 1996. – № 128. – P. 387–414.Journal of differential equations. – 1996. – No. 128. – P. 387–414.Gal, C. Well-Posedness and Long Time Behavior of the Non-Isothermal Viscous Cahn-HilliardGal, C. Well-Posedness and Long Time Behavior of the Non-Isothermal Viscous Cahn–HilliardEquation with Dynamic Boundary Conditions / Gal C. // Dynamics of PDE. – 2008. – Vol. 5,Equation with Dynamic Boundary Conditions / C. Gal // Dynamics of PDE. – 2008. – Vol. 5,– № 1. – P. 39–67.– No. 1. – P. 39–67.Плотников, П.И. Предельный переход по малому параметру в уравнениях Кана–ХиллардаPlotnikov, P.I. Passage to the Limit with Respect to a Small Parameter in the Cahn – Hillard/ П.И. Плотников // Сиб. матем. журн. – 1997. – № 38:3. – C. 638–656.Equations / P.I. Plotnikov // Sib. mat. zhurn. – 1997. – No. 38: 3. – P. 638–656.Радкевич, Е.В. Асимптотическое решение расширенной модели Кана–Хилларда / Е.В.Radkevich, E.V. Asymptotic solution of the extended Cahn – Hillard model / E.V. Radkevich,Радкевич, М.В. Захарченко // Современная математика и ее приложения. – 2003. – ТомM.V. Zakharchenko // Contemporary mathematics and its applications. – 2003. – V. 2. – P.– С. 121–138.–138.Радкевич, Е.В. Корректность математических моделей механики сплошных сред и термо-Radkevich, E.V. Correctness of mathematical models of continuum mechanics and thermodynamicsдинамика / Е.В. Радкевич // Современная математика и ее приложения. – 2003. – Том 3./ E.V. Radkevich // Contemporary mathematics and its applications. – 2003 / –– С. 3–145.V. 3. – P. 3–145.Меньшов, И.С. Метод сквозного расчета межфазных границ в двухфазных течениях наMenshov, I.S. Method of end-to-end calculation of interphase boundaries in two-phase flowsоснове уравнения Кана–Хилларда / И.С. Меньшов, Ч.Чжан // Журнал вычислительнойbased on the Cahn–Hilliard equation. Menshov, Ch. Zhang // Journal of Computationalматематики и математической физики. – 2020. – T. 60, – № 3. – C. 476–488.Mathematics and Mathematical Physics. – 2020. – T. 60, – No. 3. – P. 476–488.Демиденко, Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производ-Demidenko, G.V. Equations and systems not resolved with respect to the highest derivative /ной / Г.В. Демиденко, С.В. Успенский. – Новосибирск: Науч. кн., 1998. – 436 с.G.V. Demidenko, S.V. Uspensky. – Novosibirsk: Scientific. book., 1998. – 436 p.Свешников, А.Г. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников,Sveshnikov, A.G. Linear and nonlinear equations of the Sobolev type / A.G. Sveshnikov, A.B.А.Б. Альшин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 736 с.Alshin, M.O. Korpusov, Yu.D. Pletner. – M.: FIZMATLIT, 2007.– – 736 p.Умаров, Х.Г. О разрешимости одномерного уравнения Кана-Хилларда с вязкостью в про-Umarov, Kh.G. On the solvability of the one–dimensional Cahn–Hillard equation with viscosityстранстве непрерывных ограниченных функций на всей оси / Х.Г. Умаров // Научныеin the space of continuous bounded functions on the whole axis / Kh.G. Umarov // Scientificведомости БелГУ. Серия: Математика. Физика. – 2012. – №17 . Вып. 28. – С. 91–101.Bulletin of BelSU. Series: Mathematics. Physics. – 2012. – No. 17. Issue 28. – P. 91–101.Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц. – М.: ИЛ,Dunford, N. Linear Operators. General theory / N. Dunford, J.T. Schwartz. – M.: IL, 1962. –– 895 с.p.Benjamin, T.B. Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems / T.B.Benjamin, T.B. Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems / T. B. Benjamin,Benjamin, J.L. Bona, J.J. Mahony // Philos. Trans. R. Soc. London. – 1972. – V. 272. –J.L. Bona, J.J. Mahony // Philos. Trans. R. Soc. London. – 1972. – V. 272. – P. 47–78.P. 47–78.Demidovich, B.P. Lectures on the mathematical theory of stability / B.P. Demidovich. – M.:Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. М.:MGU, 1998. – 480 p.МГУ, 1998. – 480 с.МГУ, 1998. – 480 с.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.