chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-3-453-456cheb-1104Research ArticleКраткие сообщенияО приближении сферическими полиномами в 𝐿𝑝 при 𝑝 < 1Approximation by spherical polynomials in 𝐿𝑝 for 𝑝 < 1ГорбачевДмитрий ВикторовичGorbachevDmitry Viktorovich

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

dvgmail@mail.ruДобровольскийНиколай НиколаевичDobrovol’skiiNikolai Nikolaevich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

nikolai.dobrovolsky@gmail.comТульский государственный университетРоссияTula State UniversityRussian FederationТульский государственный университет, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. ТолстогоРоссияTula State University, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical UniversityRussian Federation202112112021223453456Copyright &#x00A9; Горбачев Д.В., Добровольский Н.Н., 20212021Горбачев Д.В., Добровольский Н.Н.Gorbachev D.V., Dobrovol’skii N.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1104

На основе недавно доказанных оценок для 𝐿1-констант Никольского для S𝑑 и R𝑑 даются эффективные оценки константы 𝐾 в следующем неравенстве типа Brown–Lucier дляфункций 𝑓 ∈ 𝐿𝑝(S𝑑), 0 < 𝑝 < 1:‖𝑓 − 𝐸1𝑓‖𝑝 6 (1 + 2𝐾)1/𝑝 inf 𝑢∈Π𝑑𝑛‖𝑓 − 𝑢‖𝑝,где Π𝑑𝑛 — подпространство сферических полиномов, 𝐸1𝑓 — элемент наилучшего приближения 𝑓 полиномами Π𝑑𝑛 в метрике 𝐿1(S𝑑). Результаты обобщаются на случай веса Данкля.

Based on recently proved estimates for the 𝐿1-Nikolskii constants for S𝑑 and R𝑑, effective bounds for the constant 𝐾 are given in the following inequality of the type Brown–Lucier for functions 𝑓 ∈ 𝐿𝑝(S𝑑), 0 < 𝑝 < 1:‖𝑓 − 𝐸1𝑓‖𝑝 6 (1 + 2𝐾)1/𝑝 inf 𝑢∈Π𝑑 𝑛 ‖𝑓 − 𝑢‖𝑝, where Π𝑑𝑛 is the subspace of spherical polynomials, 𝐸1𝑓 is a best approximant of 𝑓 from Π𝑑𝑛 in the metric 𝐿1(S𝑑). The results are generalized to the case of the Dunkl weight.

сферический полиномэлемент наилучшего приближенияконстанта Никольскоговес Данкля.spherical polynomialbest approximantNikoskii constantDunkl weight.Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 18-11-00199, https://rscf.ru/project/18-11-00199/.ReferencesBrown L.G., Lucier B.J. Best approximations in 𝐿1 are near best in 𝐿𝑝, 𝑝 < 1 // Proc. Amer.Brown L.G., Lucier B.J. Best approximations in 𝐿1 are near best in 𝐿𝑝, 𝑝 < 1 // Proc. Amer.Math. Soc. 1994. Vol. 120, no. 1. P. 97–100.Math. Soc. 1994. Vol. 120, no. 1. P. 97–100.Dai F., Gorbachev D., Tikhonov S. Estimates of the asymptotic Nikolskii constants for sphericalDai F., Gorbachev D., Tikhonov S. Estimates of the asymptotic Nikolskii constants for sphericalpolynomials // Journal of Complexity. 2021. Vol. 65. https://doi.org/10.1016/j.jco.2021.101553.polynomials // Journal of Complexity. 2021. Vol. 65. https://doi.org/10.1016/j.jco.2021.101553.Горбачев Д.В., Добровольский Н.Н. Константы Никольского–Бернштейна в 𝐿𝑝 на сфереGorbachev, D.V. & Dobrovolskii, N.N. 2020. “Nikolskii–Bernstein constants in 𝐿𝑝 on the sphereс весом Данкля // Чебышевский сборник. 2020. Том 21, № 4. С. 302–307.with Dunkl weight”, Chebyshevskii Sbornik, vol. 21, no. 4, pp. 302–307. (In Russ.)Горбачев Д.В., Мартьянов И.А. Границы полиномиальных констант Никольского в 𝐿𝑝 сGorbachev, D.V. & Mart’yanov, I.A. 2020. “Bounds of the Nikol’skii polynomial constants inвесом Гегенбауэра // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Том 26, № 4.𝐿𝑝 with Gegenbauer weight”, Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN, vol. 26, no. 4, pp. 126–137.С. 126–137.(In Russ.)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.