chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-3-423-437cheb-1100Research ArticleИстория математики и приложенийСomputer scienceОтражение и преломление плоской звуковой волны упругой пластиной с неоднородным анизотропным покрытиемReflection and refraction of a plane sound wave in an elastic plate with an inhomogeneous anisotropic coatingТолоконниковЛев АлексеевичTolokonnikovLev Alekseevich

доктор физико-математических наук, профессор 

doctor of physical and mathematical sciences, professor

tolokonnikovla@mail.ruТолоконниковСергей ЛьвовичTolokonnikovSergey Lvovich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

tolsl@mail.ruТульский государственный университетРоссияTula State UniversityRussian FederationМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation202112112021223423437Copyright © Толоконников Л.А., Толоконников С.Л., 20212021Толоконников Л.А., Толоконников С.Л.Tolokonnikov L.A., Tolokonnikov S.L.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1100

В статье рассматривается задача об отражении и преломлении плоской гармонической звуковой волны однородной изотропной упругой пластиной с непрерывно неоднородным анизотропным упругим покрытием.Полагается, что пластина граничит с идеальными однородными жидкостями. Распространение малых возмущений в идеальной жидкости в случае установившихсяколебаний описывается уравнением Гельмгольца. Распространение упругих волн в однородной изотропной упругой пластине описывается скалярным и векторным уравнениями Гельмгольца для продольных и поперечных волн. Колебания неоднородного анизотропного упругого покрытия описываются общими уравнениями движения сплошной среды.Для нахождения поля смещений в неоднородном анизотропном покрытии построена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.Получено аналитическое описание отраженного и прошедшего через пластину акустических полей.Рассмотрены частные случаи, когда материал неоднородного покрытия является трансверсально-изотропным и изотропным. Представлены результаты численных расчетов зависимости коэффициента отражения однородной изотропной пластины с трансверсально-изотропным покрытием от угла падения плоской волны.

In paper the problem of the reflection and refraction of a plane harmonic sound wave by a homogeneous isotropic elastic plate with an continuously inhomogeneous anisotropic elasticcoating is considered. It is assumed that the plate is adjoin to ideal fluids.The propagation of small perturbations in a ideal fluid in the case of steady state oscillations is described by Helmholtz’s equation. The propagation of elastic waves in a uniform isotropicelastic plate is described by scalar and vector Helmholtz’s equations for longitudinal and transverse waves. Oscillations of an inhomogeneous anisotropic elastic coating are describedby general motion equations of the continuous medium.The boundary-value problem for the system of ordinary second order differential equations is constructed for determination of the displacement field in inhomogeneous anisotropic coating.An analytical description of the reflected and transmitted through the plate acoustic fields is obtained.Particular cases when the material of an inhomogeneous coating is transversely isotropic and isotropic are considered.The results of numerical calculations of dependence of reflection coefficient of a homogeneous isotropic plate with a transversely isotropic coating from the incidence angle of plane wave arepresented.

звуковые волныотражение и преломлениеупругая пластинанеод- нородное анизотропное упругое покрытие.sound wavesreflection and refraction elastic plateinhomogeneous anisotropic elastic coating.Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 18-11-00199, https://rscf.ru/project/18-11-00199/ReferencesШендеров Е. А. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.Shenderov, E. L. 1972, “Wave problems of underwater acoustics”, Sudostroenie, Leningrad, 352 p., [in Russian].Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 344 с.Brekhovskikh, L. M. 1973, “Waves in Layered Media”, Nauka, Moscow, 344 p., [in Russian].Лонкевич М. П. Прохождение звука через слой трансверсально-изотропного материала конечной толщины // Акустический журн. 1971. Т. 17. Вып. 1. С. 85 – 92.Lonkevitch, M.P. 1971, “Transmission of sound through a finite-thickness layer of a transversal–isotropic materia”, Akust. Zhurnal, vol. 17, no 1, pp. 85 – 92, [in Russian].Шендеров Е. Л. Прохождение звука через трансверсально-изотропную пластину // Акустический журн. 1984. Т. 30. Вып. 1. С. 122 – 129.Shenderov, E.L. 1984, “Sound propagation through transversally-isotropic plate”, Akust.Zhurnal, vol. 30, no 1, pp. 122 – 129, [in Russian].Ларин Н. В. Прохождение звука через однородный термоупругий плоский слой // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 145 – 153.Larin, N. V. 2015, “The transmission of sound through a uniform thermoelastic plane layer”,Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no 3, pp. 145 – 153, [in Russian].Ларин Н. В. Анализ резонансного рассеяния звука термоупругой пластиной // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2017. Вып. 4. С. 109 – 123.Larin, N. V. 2017, “Analysis of the resonance sound scattering by a thermoelastic plate”, Izv.Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no 4, pp. 109 – 123, [in Russian].Приходько В. Ю., Тютекин В. В. Расчет коэффициента отражения звуковых волн от твердых слоисто-неоднородных сред // Акустический журн. 1986. Т. 32. Вып. 2. С. 212 – 218.Prikhod’ko, V.Yu. & Tyutekin, V. V. 1986, “Calculation of reflection coefficient of sound wavesfrom solid layered media”, Akust. Zhurnal, vol. 32, no 2, pp. 212 – 218, [in Russian].Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Прохождение звуковых волн через трансверсально-изотропный неоднородный плоский слой // Акустический журн. 1990. Т. 36. Вып. 4. С. 740 – 744.Skobel’tsyn, S. A. & Tolokonnikov, L. A. 1990, “Transmission of sound waves through a transversely isotropic inhomogeneous plane layer”, Akust. Zhurnal, vol. 36, no 4, pp. 740 – 744,Ринкевич А. Б., Смирнов А. Н. Распространение упругих волн в неоднородной трансверсально-изотропной пластине // Дефектоскопия. 2000. № 8. С. 78 – 83.[in Russian].Толоконников Л.А Отражение и преломление плоской звуковой волны анизотропным неоднородным слоем // Прикладная механика и техническая физика, 1999. Т. 40. № 5. С. 179 – 184.Rinkevich, A. B. & Smirnov, A. N. 2000, “Propagation of elastic waves in a non-uniform transversely isotropic plate”, Defektoskopiya, no 8, pp. 78 – 83, [in Russian].Толоконников Л. А. Прохождение звука через неоднородный анизотропный слой, граничащий с вязкими жидкостями // Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62. Вып. 6. С. 1029 – 1035.Tolokonnikov, L. A. 1999, “Reflection and refraction of a planar acoustic waves in an anisotropic inhomogeneous layer”, J. Appl. Mech. and Techn. Physics, vol. 40, no 5, pp. 936 – 941.Ларин Н. В., Толоконников Л. А. Прохождение плоской звуковой волны через неоднородный термоупругий слой // Прикладная математика и механика. 2006. Т. 70. Вып. 4.Tolokonnikov, L. A. 1998, “The transmission of sound through an inhomogeneous anisotropic layer adjoining viscous liquids”, J. Appl. Math. Mech., vol. 62, no 6, pp. 953 – 958.С. 650 – 659.Larin, N. V. & Tolokonnikov, L. A. 2006, “The transmission of a plane acoustic wave through a non-uniform thermoelastic layer”, J. Appl. Math. Mech., vol. 70, no 4, pp. 590 – 598.Толоконников Л. А., Ларин Н. В. Прохождение звука через термоупругий дискретно-неоднородный плоский слой, граничащий с теплопроводными жидкостями // ПрикладнаяTolokonnikov, L. A. & Larin, N. V. 2017, “Sound propagation through a discretely inhomogeneous thermoelastic plane layer adjacent to heat-conducting liquids”, J. Appl. Mech.механика и техническая физика. 2017. Т. 58. № 1. С. 108 – 116.and Techn. Physics, vol. 58, no 1, pp. 95 – 102.Ларин Н. В., Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Определение законов неоднородности плоского упругого слоя с заданными звукоотражающими свойствами // Акустический журн. 2015. Т. 61. № 5. С. 552 – 558.Larin, N. V., Skobel’tsyn, S. A. & Tolokonnikov, L. A. 2015, “Determination of the Inhomogeneity Laws for an Elastic Layer with Preset Sound-Reflecting Properties”, AcousticalСкобельцын С. А. Определение параметров неоднородности анизотропного упругого слоя по прохождению звука // Известия Тулького гос. ун-та. Технические науки. 2016. Вып. 7. Ч. 2. C. 246 – 257.Physics, vol. 61, no 5, pp. 504 – 510.Толоконников Л. А., Юдачев В. В. Отражение и преломление плоской звуковой волны упругим плоским слоем с неоднородным покрытием // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 219 – 226.Skobel’tsyn, S. A. 2016, “Determining the parameters of anisotropic elastic layer on the sound transmission”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no 7-2, pp. 246 – 257, [in Russian].Толоконников Л. А., Нгуен Т.Ш. О влиянии неоднородного покрытия упругой пластины на отражение и прохождение звука // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки.Tolokonnikov, L. A. & Yudachev, V. V. 2015, “Reflection and refraction of a planar acoustic waves in an elastic planar layer with a non-uniform covering”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv.Вып. 6. С. 362 – 372.Nauki, no 3, pp. 219 – 226, [in Russian].Толоконников Л. А., Нгуен Т.Ш. Прохождение звука через упругую пластину с неоднородным покрытием, граничащую с вязкими жидкостями // Чебышевcкий сборник. 2019.Tolokonnikov, L. A. & Nguyen, T. S. 2018, “About the influence of an non-uniform covering of the elastic plate on sound reflection and transmission”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no 6, pp. 362 – 372, [in Russian].Т. 20. Вып. 2. С. 311 – 324.Tolokonnikov, L. A. & Nguyen, T. S. 2019, “The transmission of sound through an elastic plate with an inhomogeneous coating adjoining viscous liquids, Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no 2, pp. 311 – 324, [in Russian].Ларин Н. В., Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Моделирование неоднородного покрытия упругой пластины с оптимальными звукоотражающими свойствами // Прикладная математика и механика. 2016. Т. 80. Вып. 4. С. 480 – 488.Larin, N. V., Skobel’tsyn, S. A. & Tolokonnikov, L. A. 2016, Modelling the inhomogeneous coating of an elastic plate with optimum sound-reflecting properties”, J. Appl. Math. Mech.,Ларин Н. В. Определение законов неоднородности покрытия термоупругой пластины, обеспечивающих наименьшее звукоотражение // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2016. Вып. 11. Ч. 2. С. 216 – 234.vol. 80, no 4, pp. 339 – 344.Скобельцын С. А. Оценка свойств покрытия конечной упругой пластины с полостью, обеспечивающих заданные параметры отражения звука // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2017. Вып. 7. C. 83 – 92.Larin, N. V. 2016, “Determination of the inhomogeneity laws for coating of the thermoelastic plate to obtain minimum sound reflection”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no 11-2,Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.pp. 216 – 234, [in Russian].Исакович М. А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.Skobel’tsyn, S. A. 2017, “Tstimation of the coating properties of a finite plate with a cavity providing the given parameters of the sound reflection”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki,no 7, pp. 83 – 92, [in Russian].no 7, pp. 83 – 92, [in Russian].Nowacki, W. 1975, “Teoria sprezystosci”, Mir, Мoscow, 872 p., [in Russian].Nowacki, W. 1975, “Teoria sprezystosci”, Mir, Мoscow, 872 p., [in Russian].M.A. Isakovich, M.A˙ . 1973 “General acoustics”, Nauka, Moscow, 496 p., [in Russian].M.A. Isakovich, M.A˙ . 1973 “General acoustics”, Nauka, Moscow, 496 p., [in Russian].

The authors declare that there are no conflicts of interest present.