chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2016-17-1-140-147cheb-11Research ArticleСтатьиArticleО НЕЛИНЕЙНОЙ СУММЕ КЛООСТЕРМАНАON NON-LINEAR KLOOSTERMAN SUMКоролёвМ. А.KorolevM. A.

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Отдела алгебры и теории чисел Федерального государственного бюджетного учреждения науки Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук

doctor of physical and mathematical sciences, the leading researcher of the Department of Algebra and Number Theory 

korolevma@mi.ras.ruМатематический институт им. В. А. Стеклова РАНРоссияSteklov Mathematical Institute of RASRussian Federation201603052016171140147Copyright © Королёв М.А., 20162016Королёв М.А.Korolev M.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/11

Во многих задачах теории чисел, связанных с распределением обратных величин в кольце вычетов по заданному модулю q, большую роль играют оценки тригонометрических сумм специального вида, которые называются суммами Клоостермана. В свою очередь, оценки таких сумм зачастую опираются на оценку А. Вейля т.н. полной суммы Клоостемана по простому модулю. Последняя позволяет оценивать со степенным понижением суммы Клоостермана, число N слагаемых в которых превышает величину q0.5+ε, где ε > 0 — сколь угодно малое фиксированное число. Оценка А. Вейля была получена средствами алгебраической геометрии. Позже С. А. Степановым было найдено элементарное её дказательство, также достаточно сложное. Цель настоящей заметки — дать элементарный вывод оценки суммы Клоостермана, также позволяющий получить степенное понижение в случае N > q0.5+ε. Этот вывод основан на использовании т.н. “аддитивного сдвига” переменной суммирования, который широко используется в различных задачах теории чисел.

Exponential sums of a special type — so-called Kloosterman sums — play key role in the series of number-theoretic problems concerning the distribution of inverse residues in the residual rings of given modulo q. At the same time, in many cases, the estimates of such sums are based on A.Weil’s bound of so-called complete Kloosterman sum of prime modulo. This bound allows one to estimate Kloosterman sums of length N > q0.5+ε for any fixed ε > 0 with power-saving factor. Weil’s bound was proved originally by methods of algebraic geometry. Later, S. A. Stepanov gave an elementary proof of this bound, but this proof was also complete enough. The aim of this paper is to give an elementary proof of Kloosterman sum of length N > q0.5+ε, which also leads to power-saving factor. This proof is based on the trick of “additive shift” of the variable of summation which is widely used in different problems of number theory.

обратные вычетысуммы Клоостерманаоценка Вейляinverse residuesKloosterman sumsWeil’s boundReferencesВиноградов И. М. Основы теории чисел, 9-е изд. М., Наука, 1981.Vinogradov, I. M. Elements of number theory, Dover Publications, 2003.Salie H. ¨Uber die Kloostermanschen Summen S(u, v; q) // Math. Z. Т. 34. 1931. C. 91—109.Salie, H. 1931, “ ¨Uber die Kloostermanschen Summen S(u, v; q)”, Math. Z., vol. 34, pp. 91—109.Estermann T. On Kloosterman’s sum // Mathematika. Т. 8. Вып. 1 1961. C. 83–86.Estermann, T. 1961, “On Kloosterman’s sum”, Mathematika, vol. 8, no. 1, pp. 83–86.Weil A. On some exponential sums // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. Т. 34. 1948. C. 204–207.Weil, A. 1948, “On some exponential sums”, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, vol. 34, pp. 204–207.Степанов С. А. Об оценке сумм Клостермана // Изв. АН СССР. Сер. матем.. Т. 35. Вып. 2. 1971. C. 308–323.Stepanov S. A. 1971, “An estimation of Kloosterman sums”, Mathematics of the USSR -Izvestiya, vol. 5, no. 2, pp. 319–336.Bourgain J. More on the sum -product phenomenon in prime fields and its applications // Int. J. Number Theory. Т. 1. 2005. C. 1–32.Bourgain J. 2005, “More on the sum -product phenomenon in prime fields and its applications”, Int. J. Number Theory, vol. 1, pp. 1–32.Baker R. C. Kloosterman sums with prime variable // Acta Arith. Т. 152. Вып. 4. 2012. C. 351–372.Baker R. C. 2012, “Kloosterman sums with prime variable”, Acta Arith., vol. 152, no. 4, pp. 351–372.Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. Тр. МИАН СССР. Т. 23. Изд -во АН СССР, М.–Л., 1947, 3–109.Vinogradov I. M. 1947, The method of trigonometrical sums in the theory of numbers. (Russian). Tr. Mat. Inst. Steklova 23 (1947).Burgess D. A. On character sums and primitive roots // Proc. London Math. Soc.. Т. 12. Вып. 3 1962. C. 179–192.Burgess D. A. 1962, “On character sums and primitive roots”, Proc. London Math. Soc., vol. 12, no. 3, pp. 179–192.Карацуба А. А. Тригонометрические суммы специального вида и их приложения // Изв. АН СССР. Сер. матем.. Т. 28. Вып. 1. 1964. C. 237-–248.Karatsuba A. A. 1964, “Trigonometric sums of a special type and their applications”. (Russian), Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 28, no. 1, pp. 237—248.Карацуба А. А. Об оценках сумм характеров // Изв. АН СССР. Сер. матем.. Т. 34. Вып. 1. 1970. C. 20-–30.Karatsuba A. A. 1970, “Estimates of character sums”. (Russian), Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 34, no. 1, pp. 20-–30.Карацуба А. А. Суммы характеров с простыми числами // Изв. АН СССР. Сер. матем. Т. 34. Вып. 2. 1970. C. 299-–321.Karatsuba A. A. 1970, “Sums of characters with prime numbers”. (Russian), Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 34, no. 2, pp. 299-–321Карацуба А. А. Суммы характеров с весами // Изв. РАН. Сер. матем.. Т. 64. Вып. 2. 2000. C. 29-–42.Karatsuba A. A. 2000, “Character sums with weights”, Izv. Math., vol. 64, no. 2, pp. 249-–263.Бургейн Ж., Гараев М. З. Сумма множеств, образованных обратными элементами в полях простого порядка, и полилинейные суммы Клоостермана // Изв. РАН. Сер. матем. Т. 78. Вып. 4. 2014. C. 19-–72.Bourgain J., Garaev M. Z. 2014, “Sumsets of reciprocals in prime fields and multilinear Kloosterman sums”, Izv. Math., vol. 78, no. 4, pp. 656–707.Fouvry E., Michel P. Sur certaines sommes d’exponentielles sur les nombres premiers // Ann. scient. ´Ec. Norm. Sup.. Т. 31. Вып. 1. 1998. C. 93–130.Fouvry E., Michel P. 1998, “Sur certaines sommes d’exponentielles sur les nombres premiers”, Ann. scient. ´ Ec. Norm. Sup., vol. 31, no. 1, pp. 93–130.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.