chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-3-383-404cheb-1098Research ArticleИстория математики и приложенийСomputer scienceОт алгебраических методов Диофанта — Ферма — Эйлера к арифметике алгебраических кривых: из истории диофантовых уравнений после ЭйлераFrom the algebraic methods of Diophantus–Fermats–Euler to the arithmetic of algebraic curves: about the history of diophantine equations after EulerЛавриненкоТатьяна АлексеевнаLavrinenkoTatiana Alekseevna

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

Lavrinenko.TA@rea.ruБеляевАлексей АлександровичBelyaevAleksei Aleksandrovich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

belyaev-aa@rudn.ruРоссийский экономический университет имени Г. В. ПлехановаРоссияPlekhanov Russian University of EconomicsRussian FederationРоссийский университет дружбы народовРоссияPeoples’ Friendship University of RussiaRussian Federation202112112021223383404Copyright © Лавриненко Т.А., Беляев А.А., 20212021Лавриненко Т.А., Беляев А.А.Lavrinenko T.A., Belyaev A.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1098

Если говорить об истории той части диофантова анализа, в которой рассматривается решение диофантовых уравнений в рациональных числах, то прежде всего нужно отметить устойчивость алгебраического подхода к этой проблеме, восходящего к «Арифметике» Диофанта Александрийского. Действительно, после знакомства европейских мате-матиков во второй половине XVI века с произведением Диофанта основным средством нахождения рациональных решений диофантовых уравнений становится алгебраическийаппарат замен, подстановок и преобразований. Несмотря на ограниченность этих средств, математикам удалось на данном этапе получить важные результаты о решении в рациональных числах неопределенных уравнений с двумя неизвестными 2-й, 3-й и 4-й степеней.Детальный историко-математический анализ этих результатов дан, в частности, в исследованиях И. Г. Башмаковой и её учеников. В статье рассматривается, как в течение XIX века происходил отход от узко алгебраической трактовки диофантовых уравнений, характерной для большинства работ вплоть до конца XIX века, к более общему взгляду на предмет исследования и принципиальному расширению самих средств исследованиядиофантовых уравнений. Рассматриваются шаги в этом направлении, сделанные такими математиками, как О. Л. Коши, К. Г. Я. Якоби, Э. Люка. Особое внимание уделяется творчеству Дж. Дж. Сильвестра в области диофантовых уравнений и статье У. Стори «On the Theory of Rational Derivation on a Cubic Curve», долгое время не попадавшим в поле зрения историков математики.

Talking about the Diophantine analysis’ history, namely, the problem of rational solutions of Diophantine equations, we should note the longevity of the algebraic approach, which goesback to Diophantus’ “Arithmetica”. Indeed, after the European mathematicians of the second half of the XVI century became acquainted with Diophantus’ oeuvre, algebraic apparatusof variable changes, substitutions and transformations turned into the main tool of finding rational solutions of Diophantine equations. Despite the limitations of this apparatus, there wereobtained important results on rational solutions of quadratic, cubic and quartic indeterminate equations in two unknowns. Detailed historico-mathematical analysis of these results was done, inter alia, by I. G. Bashmakova and her pupils. The paper examines the departure from this algebraic treatment of Diophantine equations, typical for most of the research up to the end of XIX century, towards a more general viewpoint on this subject, characterized also by radical expansion of the tools used in the Diophantine equations’ investigations. The worksof A. L. Cauchy, C. G. J. Jacobi and ´E. Lucas, where this more general approach was developed, are analyzed. Special attention is paid to the works of J. J. Sylvester on Diophantine equationsand the paper “On the Theory of Rational Derivation on a Cubic Curve” by W. Story, which were not in the focus of the research on history of the Diophantine analysis and where apparatusof algebraic curves was used in a pioneering way.

диофантовы уравненияарифметика алгебраических кривыхрацио- нальные точкиэллиптическая криваяДж. Дж. СильвестрУ. Э. Стори.Diophantine equationsarithmetic of algebraic curvesrational pointselliptic curveJ. J. SylvesterW. E. Story.ReferencesPoincar´e H. Sur les propri´et´es arithm´etiques des courbes alg´ebriques // J. Math. Pures Appl. 1901. Ser. 5. Vol. 7. P. 161–233. (Русский перевод: Пуанкаре А. Об арифметических свойствах алгебраических кривых // Избранные труды. Т.2. М., 1972. С. 901–960.)Poincar´e, J. H. 1901, “Sur les propri´et´es arithm´etiques des courbes alg´ebriques”, Journal de math´ematiques pures et appliq´ees, 5e s´erie, 7, pp. 161–233.Башмакова И. Г., Славутин Е. И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. М.: Наука, 1984 (переизд.: М.: ЛЕНАНД, 2015).Bashmakova, I. G. & Slavutin, E. I. 1984, History of Diophantine Analysis from Diophantus to Fermat, Nauka, Moscow (reprint. 2015, LENAND, Moscow) (in Russian)Hofmann J. E. ¨Uber zahlentheoretische Methoden Fermats und Eulers, ihre Zusammenh¨ange und ihre Bedeutung // Arch. Hist. Exact Sci. 1961. Vol.1, №2. P. 122–159.Hofmann, J. E. 1961, “ ¨Uber zahlentheoretische Methoden Fermats und Eulers, ihre Zusammenh ¨ange und ihre Bedeutung”, Archive for History of Exact Sciences, vol. 1, pp. 122–159.Weil A. Number Theory. An Approach through History: from Hammurapi to Legendre. Boston, etc.: Birkh¨auser, 1983 (reprint. Boston: Birkh¨auser, 2007).Weil, A. 1983, Number Theory. An Approach through History: from Hammurapi to Legendre, Birkh¨auser, Boston, etc. (reprint. 2007, Birkh¨auser, Boston).Лавриненко Т. А. Неопределенные ураввнения в работах Л. Эйлера и математиков XIX века. : дис. канд. физ. -мат. наук: 07.00.10. М., 1984. 166 с.Lavrinenko, T. A. 1984, Indeterminate equations in the works of L. Euler and mathematicians of the 19th century. Dissertation, Moscow, 166 p. (in Russian)Лавриненко Т. А. Диофантовы уравнения в работах Л. Эйлера // Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. Сборник статей. М.: Наука, 1988. С. 153–165.Lavrinenko, T. A. 1988, “Diophantine Equations in L. Euler’s Works”, in The Development of Leonard Euler’s Ideas and Modern Science, Nauka, Moscow, pp. 153–165 (in Russian).Euler L. Vollst¨andige Anleitung zur Algebra. Petersbourg, 1770 (reprint. Stuttgart, 1959). (Также в: Leonhardi Euleri Opera omnia, ser. 1. V. 1. P. 209–498. Lipsiae et Berolini, 1911.).Euler, L. 1770, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, Zweyter Teil, Petersbourg (reprint. 1959, Stuttgart); 1911, Leonhardi Euleri Opera omnia, ser.1, vol. 1, Lipsiae et Berolini, pp. 209–498.Euler L. Opera postuma mathematica et physica. Petropoli, 1862. V. 1.Euler, L. 1862, Opera postuma mathematica et physica, Vol. 1, Petropoli.Лавриненко Т. А. Реконструкции методов получения четырёх формул из неопубликованных рукописей Эйлера по диофантову анализу // История и методология естественныхLavrinenko, T. A. 1986, “Reconstructions of methods for obtaining four formulas from unpublished Euler manuscripts on Diophantine analysis”, Istoriya i metodologiya estestvennih nauk, vol. XXXII, pp. 111–120 (in Russian).наук. Вып. XXXII. Математика, механика. М.: Изд-во Московского университета,1986. С. 111–120.Lavrinenko, T. A. 1983, “Solving of Indeterminate Equations of Third and Fourth Degrees in the Late Euler’s Works”, Istoriko-Matematicheskie Issledovaniya, vol. 27, pp. 67–79 (in Russian).Лавриненко Т. А. Решение неопределенных уравнений 3-й и 4-й степеней в поздних работах Эйлера // Историко-математические исследования. Вып.27. М., 1983. С. 67–79.Lagrange, J. L. 1777, “Sur quelques probl`emes de l’analyse de Diophante”, Nouveaux m´emoires de l’Acad´emy royale des sciences, et belles-lettres de Berlin, 1777; Lagrange, J. L. 1869, Oeuvres, vol. 4, Gauthiers-Villars, Paris, pp. 377–398.Lagrange J. L. Sur quelques probl`emes de l’analyse de Diophante // Nouveaux M´emoires de l’Ac. royale des sc. et belle-lettre de Berlin, 1777. (Такжке в: Lagrange J. L. Oeuvres. Paris,1869. T. 4. P. 377–398.).Lavrinenko, T. A. 1985, “On Methods of Solving Indeterminate Equations in Rational Numbers in the 18th-19th centuries”, Istoriko-Matematicheskie Issledovaniya, vol. 28, pp. 202–223 (in Russian).Лавриненко Т. А. Методы решения неопределенных уравнений в рациональных числах в XVIII–XIX веках // Историко-математические исследования. Вып.28. М., 1985. С. 202–223. 13. Cauchy A. Sur la resolution de quelques ´equations ind´etermin´ees en nombres entiers // CauchyCauchy, A.–L. 1826, Exercices de math´ematiques, Paris; Cauchy, A.–L., 1887, Ouevres compl`etes (II) 6, Paris, pp. 286–315.A. Exercices de math´ematiques. Paris, 1826. (Также в: Cauchy A. Ouevres compl`etes (II). Paris, 1887. T.6. P. 286–315.).Jacobi, C. G. J. 1835, “De usu theoriae integralium ellipticorum et integralium abelianorum in analysi diophantea”, J. reine angew. Math., vol. 13, pp. 353–355; Jacobi C. 1882, Gesammelte Werke, Bd. 2, Berlin, S. 53–55.Jacobi C. De Usu Theoriae Integralium Ellipticorum et Integralium Abelianorum in Analysi Diophantea // Crelle Journal f¨ur die Reine und Angewandte Mathematik. 1835. V. 13. P. 353–Bashmakova, I. G. 1975, “Arithmetic of algebraic curves (from Diophantus to Poincar´e)”, Istoriko-Matematicheskie Issledovaniya, vol. 20, pp. 104–124 (in Russian); Bashmakova, I. G., 1981, “Arithmetic of algebraic curves from Diophantus to Poincar´e”, Historia Mathematica, vol. 8, no. 4, pp. 393–416 (in English).(Также в: Jacobi C. Gesammelte Werke. Berlin, 1882. Bd. 2. S. 53–55.).Newton, I. 1971, The Mathematical Papers of Isaac Newton, vol.4, Whiteside, D. T. (ed.), Cambridge.Башмакова И. Г. Арифметика алгебраических кривых (от Диофанта до Пуанкаре) // Историко-математические исследования. 1975. Вып. 20. С. 104–124 (на англ. языке: Bashmakova I. G. Arithmetic of algebraic curves from Diophantus to Poincar´e // Historia Mathematica. 1981. V. 8, №4. P. 393–416.).Sylvester, J. J. 1847, “An Account of a Discovery in the Theory of Numbers Relative to the Equation 𝐴𝑥3 + 𝐵𝑦3 + 𝐶𝑧3 = 𝐷𝑥𝑦𝑧”, Philosophical Magazine, 31, pp. 189–191; Sylvester, J. J.Newton I. Mathematical Papers. Vol.4 / Ed. D.T.Whiteside. Cambridge, 1971. 17. Sylvester J. J. An Account of a Discovery in the Theory of Numbers Relative to the Equation, Collected Mathematical Papers, 1, Cambridge University Press, Cambridge, pp. 107–109.𝐴𝑥3 + 𝐵𝑦3 + 𝐶𝑧3 = 𝐷𝑥𝑦𝑧 // Philosophical Magazine. 31(1847). P. 189–191. (Также в: Sylvester J. J. Collected Mathematical Papers. V.1. Cambridge Univ. Press. P. 107–109.).Sylvester, J. J. 1847, “On the Equation in Numbers 𝐴𝑥3+𝐵𝑦3+𝐶𝑧3 = 𝐷𝑥𝑦𝑧, and Its Associate System of Equations, Phil. Mag., 31, pp. 293–296; Sylvester, J. J. 1904, Collected Mathematical Papers, 1, Cambridge University Press, Cambridge, pp. 110–113.Sylvester J. J. On the Equation in Numbers 𝐴𝑥3 + 𝐵𝑦3 + 𝐶𝑧3 = 𝐷𝑥𝑦𝑧, and Its Associate System of Equations // Phil. Mag. 31(1847). P. 293–296. (Также в: Sylvester J. J. CollectedSylvester, J. J. 1847, “On the General Solution (in Certain Cases) of the Equation 𝑥3+𝑦3+𝐴𝑧3 = 𝑀𝑥𝑦𝑧 &𝑐.”, Phil. Mag., 31, pp. 467–471; Sylvester, J. J. 1904, Collected Mathematical Papers, 1, Cambridge University Press, Cambridge, pp. 114–118.Mathematical Papers. V.1. Cambridge Univ. Press. P. 110–113.).Sylvester, J. J. 1856, “Recherches sur les solutions en nombres entiers positifs ou n´egatifs de l’´equation cubique homog`ene `a trois variables”, Annali di scienze matematiche e fisiche, 7, pp. 398–400; Sylvester, J. J. 1908, Collected Mathematical Papers, 2, Cambridge University Press,Sylvester J. J. On the General Solution (in Certain Cases) of the Equation 𝑥3 + 𝑦3 + 𝐴𝑧3 = 𝑀𝑥𝑦𝑧 & c. // Phil. Mag. 31(1847). P. 467–471. (Также в: Sylvester J. J. CollectedCambridge, pp. 63–64.Mathematical Papers. V.1. Cambridge Univ. Press. P. 114–118.).Sylvester, J. J. 1858, “Note on the Algebraical Theory of Derivative Points of Curves of the Third Degree”, Phil. Mag., 16, pp. 116–119; Sylvester, J. J. 1908, Collected Mathematical Papers, 2, Cambridge University Press, Cambridge, pp. 107–109.Sylvester J. J. Recherches sur les solutions en nombres entiers positifs ou n´egatifs de l’´equation cubique homog`ene `a trois variables // Annali di scienze matematiche e fisiche. 7 (1856). P. 398– 400. (Также в: Sylvester J. J. Collected Mathematical Papers. V.2. Cambridge Univ. Press.Parshall, K. H. 1998, James Joseph Sylvester: Life and Work in Letter, Oxford University Press, Oxford.P. 63–64.).Sylvester, J. J. 1879/80, “On Certain Ternary Cubic-Form Equations”, Amer. J. Math., 2, pp. 280–285 and 357–393; 3, pp. 58–88 and 179–189; Sylvester, J. J., Collected Mathematical Papers, 3, Cambridge University Press, Cambridge, pp. 312–391.Sylvester J. J. Note on the Algebraical Theory of Derivative Points of Curves of the ThirdLucas, ´E. 1878, “Sur l’analyse ind´etermin´ee du troisi`eme degr´e et sur la question 802 (Sylvester)”, Nouv. ann. math., 2e s´erie, 17, pp. 507–514.Degree // Phil. Mag. 16(1858). P. 116–119. (Также в: Sylvester J. J. Collected MathematicalLavrinenko, T. A. 2002, “Solving an Indeterminate Third Degree Equation in Rational Numbers. Sylvester and Lucas”, Revue d’Histoire des Math´ematiques (Soci´et´e Math´ematique de France), t.8, no. 1, pp. 67–111.Papers. V.2. Cambridge Univ. Press. P. 107–109.).Lavrinenko T. A. & Михно Г. А., 2014, “On the introduction of a group structure on a cubic and solving Diophantine equations”, Vestnik TvGU. Seriya: Prikladnaya matematika, no. 4,Parshall K. James Joseph Sylvester: Life and Work in Letters. Oxford: Oxford University Press,pp. 95–104 (in Russian).Parshall, K. H. & Rowe, D. E. 1994, The Emergence of the American Mathematical Research Community 1876-1900: J. J. Sylvester, Felix Klein, and E. H. Moore, American MathematicalParshall, K. H. & Rowe, D. E. 1994, The Emergence of the American Mathematical Research Community 1876-1900: J. J. Sylvester, Felix Klein, and E. H. Moore, American MathematicalSylvester J. J. On Certain Ternary Cubic-Form Equations // Amer. J. Math. 2 (1879), p. 280–Society, Providence.and p. 357–393; 3 (1880), p. 58–88 and p. 179–189. (Также в: Sylvester J. J. CollectedCooke, R. & Rickey, V. F. 1989, “W. E.Story of Hopkins and Clark”, in Duren (Peter) et al., eds., A Century of Mathematics in America – Part III, American Mathematical Society, Providence,Mathematical Papers. V.3. Cambridge Univ. Press. P. 312–391.).pp. 29–76.Lucas ´E. Sur l’Analyse ind´etermin´ee du troisi`eme degr´e et sur la question 802 (Sylvester) //Story, W. E. 1880, “On the Theory of Rational Derivation on a Cubic Curve”, Amer. J. Math., 3, pp. 356–387.Nouv. ann. math.. 2e s´erie, 17. 1878. P. 507–514.Clebsch, R. F. A. 1864, “ ¨Uber einen Satz von Steiner und einige Punkte der Theorie der Curven dritter Ordnung”, Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik, vol. 63, pp. 94–121.Lavrinenko T. A. Solving an Indeterminate Third Degree Equation in Rational Numbers. Sylvester and Lucas // Revue d’Histoire des Math´ematiques (Soci´et´e Math´ematique de France). 2002. T.8, №1. P. 67–111.Hilbert D. & Hurwitz A. 1890, “ ¨Uber die diophantischen Gleichungen vom Geschlecht Null”, Acta Mathematica, V. 14, P. 217–224.Лавриненко Т. А., Михно Г. А. О введении групповой структуры на множестве точек кубики и решении диофантовых уравнений // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. 2014. №4. С. 95–104.Noether M. 1884, “Rationale Ausf¨uhrung der Operationen in der Theorie der algebraischen Funktionen”, Math. Annalen, 23, S. 311–358.Parshall K., Rowe D. The Emergence of the American Mathematical Research Community 1876-1900: J. J. Sylvester, Felix Klein, and E. H. Moore. // Providence: American Mathematical Society, 1994.Dickson, L. E. 1920, History of the Theory of Numbers, vol.2: Diophantine Analysis, Carnegie Institute of Washington, Washington (reprint. 1971, Chelsea, New York).Cooke R., Rickey F. W. E. Story of Hopkins and Clark // A Century of Mathematics in America. Part III / ed. Peter Duren. Providence: American Mathematical Society, 1989. P. 29–76.Cooke R., Rickey F. W. E. Story of Hopkins and Clark // A Century of Mathematics in America. Part III / ed. Peter Duren. Providence: American Mathematical Society, 1989. P. 29–76.Story W. E. On the Theory of Rational Derivation on a Cubic Curve // Amer. J. Math. (3) 1880. P. 356–387.Story W. E. On the Theory of Rational Derivation on a Cubic Curve // Amer. J. Math. (3) 1880. P. 356–387.Clebsch A. ¨Uber einen Satz von Steiner und einige Punkte der Theorie der Curven dritter Ordnung // Crelle J. f¨ur die r. und ang. Math.. 63(1864).Clebsch A. ¨Uber einen Satz von Steiner und einige Punkte der Theorie der Curven dritter Ordnung // Crelle J. f¨ur die r. und ang. Math.. 63(1864).Hilbert D., Hurwitz A. ¨Uber die diophantischen Gleichungen vom Geschlecht Null // Acta Mathematica. 1890. V. 14. P. 217-224.Hilbert D., Hurwitz A. ¨Uber die diophantischen Gleichungen vom Geschlecht Null // Acta Mathematica. 1890. V. 14. P. 217-224.Noether M. Rationale Ausf¨uhrung der Operationen in der Theorie der algebraischen Funktionen // Math. Annalen. 23(1884). S. 311–358.Noether M. Rationale Ausf¨uhrung der Operationen in der Theorie der algebraischen Funktionen // Math. Annalen. 23(1884). S. 311–358.Dickson L. E. History of the Theory of Numbers. V.2: Diophantine Analysis. Washington, 1920 (reprint. Bronx (Chelsea), 1971).Dickson L. E. History of the Theory of Numbers. V.2: Diophantine Analysis. Washington, 1920 (reprint. Bronx (Chelsea), 1971).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.