chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-3-368-382cheb-1097Research ArticleИстория математики и приложенийСomputer scienceО применении теоретико-числовых сеток в задачах акустикиAbout application of number-theoretic grids in problems of acousticsДобровольскийНиколай НиколаевичDobrovol’skiiNikolai Nikolaevich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

Nikolai.Dobrovolsky@gmail.comСкобельцынСергей АлексеевичSkobel’tsynSergey Alekseevich

доктор физико-математических наук, доцент

candidate of physical and mathematical sciences, associateprofessor

skbl@rambler.ruТолоконниковЛев АлексеевичTolokonnikovLev Alekseevich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

TolokonnikovLA@mail.ruЛаринНиколай ВладимировичLarinNikolai Vladimirovich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

Larin220577@gmail.comТульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, Тульский государственный университетРоссияTula State Lev Tolstoy Pedagogical University, Tula State UniversityRussian FederationТульский государственный университетРоссияTula State UniversityRussian Federation202112112021223368382Copyright © Добровольский Н.Н., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А., Ларин Н.В., 20212021Добровольский Н.Н., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А., Ларин Н.В.Dobrovol’skii N.N., Skobel’tsyn S.A., Tolokonnikov L.A., Larin N.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1097

В статье рассматривается задача дифракции сферической монохроматической звуковой волны на абсолютно жесткой сфере. Для представления рассеянного поля используется представление в виде интеграла Кирхгофа. Это приводит к необходимости решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода для определения потенциала скорости в рассеянной волне на поверхности рассеивателя. Показано, что использование квадратурных формул на основе сеток Смоляка позволяет сократить число вычислений при приближенном вычисление интегралов, при решении интегрального уравнения и при вычислениирассеянного поля на поверхности сферы и в дальней зоне. Этот метод сравнивался с методом простых ячеек, который учитывает механическую постановку задачи и имеет тот жепорядок точности. Оценка точности вычисления давления на поверхности сферы и форм-функции рассеянного поля на основе решения интегрального уравнения проводится путемсравнения с аналитическим решением на основе разложения по сферическим волновым функциям.

The article discusses spherical diffraction problem monochromatic sound wave absolutely rigid sphere. To represent the scattered field, a representation in the form of a Kirchhoff integral is used. This leads to the need to solve the Fredholm integral equation of the second kind to determine the velocity potential in the scattered wave on the surface of the scatterer. It is shown that the use of quadrature formulas based on number-theoretic grids allows you to reduce the number of calculations for the approximate calculation of integrals, when solving the integral equation and when calculating the scattered field on the surface of the sphere and in the far field. This method was compared with the simple cell method, which takes into account the mechanical formulation of the problem and has the same order of accuracy. Estimation of the accuracy of calculating the pressure on the surface of the sphere and the form-function of the scattered field based on the solution of the integral equation was carried out by comparison with the analytical solution based on the expansion in spherical wave functions.

дифракциясферические звуковые волнылинейные интегральные уравненияинтерполяцияинтерполяционные многочленыквадратурные формулыпери- одизациясетки Смолякапараллелепипедальные сетки.diffractionspherical sound wavelinear integral equationsinterpolationinterpolation polynomialsquadrature formulasperiodizationSmolyak gridsparallelepiped grids.Исследование выполнено за счет гранта РФФИ 19-41-710005 р_а.ReferencesS. M. Rao. An iterative method to solve acoustic scattering problems using a boundary integral equation // J. Acoust. Soc. Am. 2011. V. 130, issue 4, pp. 1792–1798.S. M. Rao, 2011, “An iterative method to solve acoustic scattering problems using a boundary integral equation”, J. Acoust. Soc. Am. vol. 130, issue 4, pp. 1792–1798.J. A. Fawcett. Scattering from a finite cylinder near an interface // J. Acoust. Soc. Am. 2014. V. 136, issue 2, pp. 485–493.J. A. Fawcett, 2014, “Scattering from a finite cylinder near an interface”, J. Acoust. Soc. Am. vol. 136, issue 2, pp. 485–493.A. M. A. Alsnayyan, J. Li, S. Hughey, A. Diaz, B. Shanker. Efficient isogeometric boundary element method for analysis of acoustic scattering from rigid bodies // J. Acoust. Soc. Am.A. M. A. Alsnayyan, J. Li, S. Hughey, A. Diaz and B. Shanker, 2020, “Efficient isogeometric boundary element method for analysis of acoustic scattering from rigid bodies”, J. Acoust. Soc.V. 147, issue 5, pp. 3275–3284.Am. vol. 147, issue 5, pp. 3275–3284.Е. Л. Шендеров. Излучение и рассеяние звука. Л.: Судостроение, 1989. 304 с.E. L. Shenderov, 1989, Sound emission and scattering, [Izluchenie i rasseianie zvuka], Leningrad, Shipbuilding.Е. Л. Шендеров. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.E. L. Shenderov, 1972, Wave problems of hydroacoustics, [Volnovye zadachi gidroakustiki], Leningrad, Shipbuilding.Н. Н. Калиткин. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.N. N. Kalitkin, 1978, Numerical methods [CHislennye metody], Moscow, Nauka.Е. А. Иванов. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. - Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.E. A. Ivanov, 1968, Diffraction of electromagnetic waves on two bodies, [Difrakciya elektromagnitnyh voln na dvuh telah], Minsk: Science and Technology.И. Ю. Реброва, В. Н. Чубариков, Н. Н. Добровольский, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский. О классических теоретико-числовых сетках // Чебышевcкий сборник. 2018.I. Yu. Rebrova, V. N. Chubarikov, N. N. Dobrovol’skii, M. N. Dobrovol’skii, N. M. Dobrovol’skii, 2018, “On classical number-theoretic nets”, Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 4, pp. 118—176.Т. 19, вып. 4, С. 118—176N. M. Korobov, 1961, “Application of number-theoretical sieves to integral equations and interpolation formulas”, Collection of articles. To the 60th anniversary of academician Mikhail Alekseevich Lavrent’ev, Trudy Mat. Inst. Steklov., vol. 60, pp. 195—210.Н. М. Коробов. Применение теоретико-числовых сеток в интегральных уравнениях и интерполяционных формулах // Сборник статей. Посвящается академику Михаилу Алексе-Yu. N. Shakhov, 1961, “The approximate solution of Volterra equations of the second kind by the method of iterations”, Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 136, issue 6, pp. 1302–1305.евичу Лаврентьеву к его шестидесятилетию, Тр. МИАН СССР, 1961, т. 60, с. 195—210.M. Z. Ge¸cmen, E. ¸ Celik, 2021, “Numerical solution of Volterra–Fredholm integral equations with Hosoya polynomials”, Math Meth Appl Sci., vol. 44, pp. 11166–11173.Ю. Н. Шахов. О приближенном решении уравнений Вольтерра II рода методом итераций // Докл. АН СССР, 1961, т. 136, вып. 6, с. 1302–1305.W. Shatanawi, N. Mlaiki, D. Rizk, et al., 2021, “Fredholm-type integral equation in controlled metric-like spaces”, Adv Differ Equ, 358 (2021).M. Z. Ge¸cmen, E. ¸ Celik. Numerical solution of Volterra–Fredholm integral equations with Hosoya polynomials. // Math Meth Appl Sci., 2021, т. 44, с. 11166–11173.S. C. Buranay, M. A. ¨ Ozarslan, S. S. Falahhesar, 2021, “Numerical Solution of the Fredholm and Volterra Integral Equations by Using Modified Bernstein–Kantorovich Operators”, Mathematics, 9, 1193.W. Shatanawi, N. Mlaiki, D. Rizk, et al. Fredholm-type integral equation in controlled metriclike spaces. // Adv Differ Equ, 2021, 358 (2021).V. A. Bykovskii, 1988, “Discrete Fourier transform and cyclic convolution on integral lattices”, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 302:1, pp. 11–13.S. C. Buranay, M. A. ¨ Ozarslan, S. S. Falahhesar. Numerical Solution of the Fredholm and Volterra Integral Equations by Using Modified Bernstein–Kantorovich Operators //Yu. Kolomoitsev, J. Prestin, 2021, “Approximation properties of periodic multivariate quasiinterpolation operators”, Journal of Approximation Theory, vol. 270, 105631.Mathematics, 2021, т. 9, 1193.P. Dencker, W. Erb, Yu. Kolomoitsev, T. Lomako, 2017, “Lebesgue constants for polyhedral sets and polynomial interpolation on Lissajous–Chebyshev nodes”, Journal of Complexity, vol. 43, pp. 1-27.В. А. Быковский. Дискретное преобразование Фурье и циклическая свертка на целочисленных решетках. // Докл. АН СССР, 1988, 302:1, с. 11–13.N. N. Dobrovol’skii, 2007, “Discrepancy of two-dimensional Smolyak grids”, Chebyshevskii sbornik, vol 8, no 1, pp. 110—152Y. Kolomoitsev, J. Prestin. Approximation properties of periodic multivariate quasiinterpolation operators // Journal of Approximation Theory, 2021, т. 270, 105631.N. M. Korobov, 2004, Teoretiko-chislovye metody v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], 2nd ed., MTSNMO, Moscow, Russia.S. C. Buranay, M. A. ¨ Ozarslan, S. S. Falahhesar. Numerical Solution of the Fredholm and Volterra Integral Equations by Using Modified Bernstein–Kantorovich Operators //N. M. Dobrovol’skii, A. R. Yesayan, O. V. Andreeva, N. V. Zaitseva, 2004, “Multidimensional number-theoretic Fourier interpolation” [Mnogomernaya teoretiko-chislovaya Fur’eMathematics, 2021, т. 9, 1193.interpolyaciya], Chebyshevskii sbornik, vol 5, no 1, pp. 122—143Н. Н. Добровольский. Отклонение двумерных сеток Смоляка // Чебышевский сборник, 2007, т. 8, вып. 1, с. 110—152.Н. Н. Добровольский. Отклонение двумерных сеток Смоляка // Чебышевский сборник, 2007, т. 8, вып. 1, с. 110—152.Н. М. Коробов. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. (второе издание) М.: МЦНМО, 2004. 288 с.Н. М. Коробов. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. (второе издание) М.: МЦНМО, 2004. 288 с.Н. М. Добровольский, А. Р. Есаян, О. В. Андреева, Н. В. Зайцева. Многомерная теоретико-числовая Фурье интерполяция // Чебышевский сборник, 2004, т. 5. Вып. 1. c. 122–143.Н. М. Добровольский, А. Р. Есаян, О. В. Андреева, Н. В. Зайцева. Многомерная теоретико-числовая Фурье интерполяция // Чебышевский сборник, 2004, т. 5. Вып. 1. c. 122–143.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.