chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-3-311-344cheb-1094Research ArticleИстория математики и приложенийСomputer scienceО развитии нелинейных интегральных уравнений на раннем этапе и вкладе отечественных математиковOn the development of nonlinear integral equations at the early stage and the contribution of domestic mathematicsБогатовЕгор МихайловичBogatovEgor Mikhailovich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

embogatov@inbox.ruМухинРавиль РафкатовичMukhinRavil’ Rafkatovich

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

mukhiny@mail.ruФилиал Национального исследовательского технологического университета «МИСИС» в г. Губкине Белгородской области; Старооскольский технологический институт им. А. А. УгароваРоссияNational Research University of Science and Technology “MISIS” in Gubkin town of Belgorod Region; Stary Oskol National Research University of Science and Technology “MISIS”Russian FederationСтарооскольский технологический институт им. А. А. Угарова (филиал) Национального исследовательского технологического университета «МИСиС»РоссияUgarov Stary Oskol Technological Institute (branch) of National University of Science and Technology «MISiS»Russian Federation202112112021223311344Copyright © Богатов Е.М., Мухин Р.Р., 20212021Богатов Е.М., Мухин Р.Р.Bogatov E.M., Mukhin R.R.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1094

В работе рассмотрены предпосылки и зарождение теории нелинейных интегральных уравнений. Появление этой теории явилось закономерным следствием развития всей ма-тематики XVIII-XIX вв. Вместе с тем сильное мотивирующее воздействие оказало возрастание интереса к нелинейным задачам в конце XIX – начале XX в. Непосредственноеисследование конкретных нелинейных интегральных уравнений было вызвано актуальной прикладной задачей о фигурах равновесия вращающихся жидких масс, которая, начиная с Ньютона, привлекала внимание значительного числа крупнейших математиков. В первые десятилетия развития теории нелинейных интегральных уравнений культивировались традиционные подходы, использовавшиеся для исследования дифференциальных и алгебраических уравнений, по схеме уравнение-решение. То есть на первом плане находилось вычисление и оценка его точности. Сложность и своеобразие нелинейных задач сразу выявили актуальность вопросов существования и единственности их решений, что сделалонеобходимым привлечение других, только создающихся областей математики. Теория интегральных уравнений вообще явилась одним из истоков функционального анализа. Кроме того, обе теории тесно переплетались и в своей эволюции взаимно стимулировали друг друга. В полной мере это относится и к нелинейным интегральным уравнениям, для которых первостепенное значение приобрели качественные методы. На рассматриваемом в настоящей работе этапе имело место параллельное развитие и cмешение традиционных методов исследования уравнений и новых подходов качественного характера. На следующем этапеновые подходы вышли на первый план, объединившись с функциональным анализом и топологией.

The paper considers the preconditions and the origin of the theory of nonlinear integral equations. The appearance of this theory was a natural consequence of the development of allmathematics of the XVIII-XIX cc. At the same time, the growing interest in nonlinear problems in the late XIX and early XX centuries had a strong motivating effect. The direct investigationof specific nonlinear integral equations was triggered by an urgent applied problem on the equilibrium figures of rotating liquid masses, which has attracted a significant number of majormathematicians since Newton. In the first decades of the development of the theory of nonlinear integral equations, traditional approaches were cultivated, which were used to study differential and algebraic equations, according to the equation-solution scheme. That is, the foreground was the calculation and assessment of its accuracy. The complexity and originality of nonlinear problems immediately revealed the relevance of questions of the existence and uniqueness of their solutions, which made it necessary to involve other, just emerging areas of mathematics. The theory of integral equations in general was one of the origins of functional analysis. Moreover, both theories were closely intertwined and mutually stimulated each other in their evolution. This fully applies to nonlinear integral equations, for which qualitative methods have become of paramount importance. At the stage considered in this work, there was a parallel development and mixing of traditional methods for studying equations and new approaches of a qualitativenature. In the next phase, new approaches came to the fore, merging with functional analysis and topology.

нелинейные интегральные уравненияуравнение Клероуравнение Радоуравнение Лиувилляуравнение Ляпунова-Шмидтауравнение Урысонауравнение Некрасовауравнение ГаммерштейнаА. ПуанкареН.Н. Назаров.nonlinear integral equationsClairaut equationRadau equationLiouville equationLyapunov-Schmidt equationUrysohn equationNekrasov equationHammerstein equationA. Poincar´eN.N. Nazarov.ReferencesAbel N.H. Solution de quelques probl`emes `a l’aide d’int´egrales d´efinies // Magazin Naturvidensk, Vol. 1 (1823), pp. 55–68.Abel, N.H. 1823, “Solution de quelques probl`emes `a l’aide d’int´egrales d´efinies”, Magazin Naturvidensk., vol. 1, pp. 55–68. Abel, N.H. 1823, “Solution de quelques probl`emes `a l’aideArchibald T. From attraction theory to existence proofs: the evolution of potential-theoretic methods in the study of boundary-value problems, 1860-1890 // Revue d’histoire desd’int´egrales d´efinies”, Magazin Naturvidensk., vol. 1, pp. 55–68.math´ematiques. 1996. – Vol. 2. – Iss. 1. – pp. 67-93.Archibald, T. 1996, “From attraction theory to existence proofs: the evolution of potentialtheoretic methods in the study of boundary-value problems, 1860-1890”, Revue d’histoire desАхмедов К. Т. Аналитический метод Некрасова–Назарова в нелинейном анализе // Успехи математических наук, Том 12:4(76) (1957), C. 135–153.math., vol. 2, no. 1, pp. 67-93.Бахтин И.А., Красносельский М.А. К задаче о продольном изгибе стержня переменной жёсткости // Доклады АН СССР, Том 105, № 4 (1955). С. 621-624Akhmedov, K. T. 1957, “The analytic method of Nekrasov–Nazarov in non-linear analysis”, Uspekhi Mat. Nauk, vol. 12:4, no.76, pp. 135–153.Богатов Е.М. Об истории положительных операторов (1900-е-1960-е гг.) и вкладе М.А. Красносельского // Научные ведомости БелГУ. Серия Прикладная математика, Физика,Bakhtin, I.A., Krasnosel’skii M. A. 1955, “On the problem of longitudinal bending of a rod of variable stiffness“, Moscow, Dokl. Akad. Nauk SSSR, Vol. 105 (4), pp. 621-624.Т. 52, № 2, С. 105-127.Bogatov, E.M. 2020, “On the history of the positive (1900s-1960s) and the contribution of M.A. Krasnosel’skii”, Scientific bulletin of BelSU. Ser. Appl. Mat., Phys., vol. 52, no. 2, pp. 105-127.Богатов Е.М., Мухин Р.Р. Из истории нелинейных интегральных уравнений Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2016. Т. 24. № 2, С. 77-114.Bogatov, E.M., Mukhin, R.R. 2016, “ About the history of nonlinear integral equations”, Izvestiya VUZ. Applied nonlinear dynamics, Vol. 24 (2), pp. 77-114.Богатов Е.М., Мухин Р.Р. О ранней истории нелинейных интегральных уравнений / Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории. Материалы XVII междунар. конф., (23-26 cентября 2020). - Тула, ТГПУ им. Л.Н. Толстого. 2020. с. 321-325.Bogatov, E.M., Mukhin, R.R., 2020, “On the early history of nonlinear integral equations”, Algebra, number theory and discrete geometry: modern problems, applications and problemsBanach S. Sur les op´erations dans les ensembles abstraits et leur application aux ´equations integrals // Fundamenta Mathematicae, 3 (1922), p. 133—181.of history. Materials XVII Int. conf., Tula, TGPU im. L.N. Tolstogo, pp. 321-325.Bateman, H. Report on the history and present state of the theory of integral equations // British Association for the Advancement of Science, Vol. 80 (1910), pp. 345-424.Banach, S. 1922, “Sur les op´erations dans les ensembles abstraits et leur application aux ´equations integrals“, Fund. Math. Vol. 3, pp. 133—181.Bˆocher M. An introduction to the study of integral equations. Cambridge, the University Press 1909. 78 p.Bateman, H. 1910, “Report on the history and present state of the theory of integral equations”, British Ass. for the Adv. of Sci., Vol. 80, pp. 345-424.Вайнберг М. М., Треногин В. А. Методы Ляпунова и Шмидта в теории нелинейных уравнений и их дальнейшее развитие // Успехи математических наук, Том 17:2(104) (1962), С.13–75.Bˆocher, M. 1909, An introduction to the study of integral equations, The University Press, Cambridge, 78 p.Weyl H. David Hilbert and his mathematical work // Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 50 (1944), Iss. 9, pp. 612-654.Vainberg, M. M., Trenogin, V. A. 1962, “The methods of Lyapunov and Schmidt in the theory of non-linear equations and their further development”, Russian Math. Surveys, Vol.Villat H. Sur la r´esistance des fluides // Annales scientifiques de l’´Ecole Normale Sup´erieure. –1911. – V. 28. – p. 203-311.:2, pp. 1–60.Volterra, V. Sulla inversione degli integrali definiti // Tip. della R. Accademia dei Lincei, 1896.Vol. 5, pp. 177-185.Weyl, H. 1944, “David Hilbert and his mathematical work”, Bull. Amer. Math. Soc., Vol. 50, Iss. 9, pp. 612-654.Volterra, V. Sopra alcune questioni di inversione di integrali definiti // Annali di Matematica Pura ed Applicata, Vol. 25, (1897), pp. 139-178.Villat, H. 1911, “Sur la r´esistance des fluides”, Ann. Sci. ´ Ec. Norm. Sup´er, Vol. 28, pp. 203-311.Volterra, V. Sopra un problema di elettrostatica // Nuovo Cimento, Vol. XVI (1884), pp. 49-57.Volterra, V. 1896, “Sulla inversione degli integrali definiti”, Tip. della R. Accademia dei Lincei, Vol. 5, pp. 177-185.Volterra V. Lecons sur les ´equations int´egrales et les ´equations int´egro-differentielles. GauthierVolterra, V. 1897, “Sopra alcune questioni di inversione di integrali definiti”, Ann. Mat. Pura Appl. Vol. 25, pp. 139-178.Villars, Paris, 1913. 180 p.Volterra, V. 1884, “Sopra un problema di elettrostatica”, Nuovo Cimento, Vol. XVI, pp. 49-57.Hammerstein A. Nichtlineare Integralgleichungen nebst Anwendungen // Acta mathematica. Vol. 54 (1930), pp. 117–176.Volterra, V. 1913, Lecons sur les ´equations int´egrales et les ´equations int´egro-differentielles. Gauthier Villars, Paris, 180 p.Hilbert D. Grundziige einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgieichimgen. – Leipzig, Berlin: B. G. Teubner, 1912. 320 p.Hammerstein, A. 1930, “Nichtlineare Integralgleichungen nebst Anwendungen”, Acta math., Vol. 54, pp. 117–176.Golomb, M. Zur Theorie der nichtlinearen Integralgleichungen, Integralgleichungssysteme undHilbert, D. 1912, Grundziige einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgieichimgen, B. G. Teubner, Leipzig, Berlin, 320 p.allgemeinen Funktionalgleichungen // Mathematische Zeitschrift, Vol. 39 (1935). pp. 45-75.Golomb, M. 1935, “ Zur Theorie der nichtlinearen Integralgleichungen, IntegralgleichungssystemeGolomb, M. Review of the article ”Hammerstein, A. Nichtlineare Integralgleichungen nebst Anwendungen”. Jahrbuch Database URL: http://www.zentralblatt-math.org/jahrbuch/und allgemeinen Funktionalgleichungen”, Math. Zeitschrift, Vol. 39, pp. 45-75.?id=66165&type=pdf (дата обращения 19.10.2020)Golomb, M. (1934) Review of the article “Hammerstein, A. Nichtlineare Integralgleichungen nebst Anwendungen“. Jahrbuch Database Available at: http://www.zentralblatt-math.org/Golubitsky M., Schaeffer D. G. Singularities and Groups in Bifurcation Theory, Vol. I. Springer, New York (1985). 475 p.jahrbuch/?id=66165\&type=pdf (accessed 19 October 2020)Dieudonn´e J. History of functional analysis / North-Holland publishing company. Amsterdam - 1981. - 316 p.Golubitsky, M., Schaeffer, D. G. 1985, Singularities and Groups in Bifurcation Theory, Vol. I. Springer, New York, 475 p.Du Bois-Reymond, P. Bemerkungen ¨uber Δ𝑧 = 0 // Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik, Vol. 103 (1888), S. 204-229.Dieudonn´e J.1981, History of functional analysis, North-Holland publishing company, Amsterdam, 316 p.Идельсон Н.И. Комментарии к книге А. Клеро «Теория фигуры Земли» в кн. Теория фигуры Земли, основанная на началах гидростатики. М.: Изд-во Академии Наук СССР,Du Bois-Reymond, P.1888, “ Bemerkungen ¨uber Δ𝑧 = 0”, J. Reine Angew. Math., Vol. 103, pp. 204-229.C. 260-355.Idelson, N.I. 1947, “Comments to the book by A. Clairaut "Theory of the Earth’s Figure“’, in Teorija figury Zemli, osnovannaja na nachalah gidrostatiki [The theory of the figure of the Earth, based on the principles of hydrostatics], Izd-vo Akademii Nauk SSSR, Moscow, pp. 260-355.Iurato G. The dawning of the theory of equilibrium figures: a brief historical account from the 17th through the 20th century// arXive: 1409.1823 (2014).Iurato, G. 2014, “The dawning of the theory of equilibrium figures: a brief historical account from the 17th through the 20th century”, History and Philosophy of Physics, Available atClairaut A. C. Th´eorie de la figure de la terre: tir´ee des principes de l’hydrostatique. – chez David Fils, libraire, 1743. – Vol. 668, 305 p.https://arxiv.org/abs/1409.3858v2.Клеро А. Теория фигуры Земли, основанная на началах гидростатики. М.: Изд-во Академии Наук СССР, 1947. 364 с.Clairaut, A. C. 1743, Th´eorie de la figure de la terre: tir´ee des principes de l’hydrostatique, chez David Fils, libraire, Vol. 668, 305 p.Koch, H. von. Sur les fonctions implicites d´efinies par une infinit´e d’´equations simultan´ees //Bulletin de la Soci´et´e Math´ematique de France, Vol. 27 (1899): p. 215-227.Clairaut, A. 1947, Teorija figury Zemli, osnovannaja na nachalah gidrostatiki [The theory of the figure of the Earth, based on the principles of hydrostatics], Izd-vo Akademii Nauk SSSR, Moscow, 364 p.Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962, 394 с.Koch, H. von. 1899, “Sur les fonctions implicites d´efinies par une infinit´e d’´equations simultan´ees”, Bull. Soc. Math. Fr., Vol. 27, pp. 215-227.Laplace, P. Trait´e de m´ecanique c´eleste, Livre III. Paris : Duprat, 1802. 382 p.Krasnosel’skii, M. A. 1964, Positive solutions of operator equations, Noordhoff, Groningen, 381 p.Levi-Civita T. Sulla resistenza d’attrito // Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 23(1907), p. 1-37.Laplace, P. 1802, Trait´e de m´ecanique c´eleste, Livre III. Duprat, Paris, 382 p.Leray, J. ´Etude de diverses ´equations int´egrales non lin´eaires et de quelques probl`emes que pose l’Hydrodynamique // Journal of Math´ematiques Pures et Appliqu´ees, Vol. 12 (1933): pp.1-82.Levi-Civita, T. 1907, “Sulla resistenza d’attrito”, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, Vol. 23 (1), pp. 1-37.Leray J. Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace // Acta mathematica.1934. – Vol. 63. – pp. 193-248.Leray, J. 1933, “ ´Etude de diverses ´equations int´egrales non lin´eaires et de quelques probl`emes que pose l’Hydrodynamique”, J. Math. Pures Appl, Vol. 12, pp.1-82.Leray, J. Essai sur les mouvements plans d’un fluide visqueux que limitent des parois // Journal of Math´ematiques Pures et Appliqu´ees, Vol. 13 (1934): pp. 331-418.Leray J. 1934, “Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace”, Acta math., Vol. 63, pp. 193-248.Ляпунов А.М. Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости (Магистерская диссертация). СПб, Типография Академии наук, 1884, XV+109 с.Leray, J. 1934, “Essai sur les mouvements plans d’un fluide visqueux que limitent des parois”, J. Math. Pures Appl, Vol. 13, pp. 331-418.Liapunoff A.M. Recherches dans la th´eorie de la figures des corps c´elestes // Memoires de l’Academie Imperiale des Sciences de St. Petersburg. 8-me S´erie. 1903. Vol. 14, no. 7, pp. 1-37.Liapunoff, A.M. 1884, Ob ustojchivosti jellipsoidal’nyh form ravnovesija vrashhajushhejsja zhidkosti [On the stability of ellipsoidal forms of equilibrium of a rotating fluid] (Master’sLiapounoff A.M. Sur la stabilite des figures ellipso¨ıdales d’´equilibre d’un liquide anime d’un mouvement de rotation // The Annales de la Facult´e des Sciences de Toulouse, 2 ser., Vol. 6 (1904), pp. 5-116.thesis). Printing house of the Academy of Sciences, St. Petersburg, XV+109 p.Liapounoff A. Sur un probl´eme de Tchebycheff // Memoires de l’Academie Imperiale desLiapunoff, A.M. 1903, “Recherches dans la th´eorie de la figures des corps c´elestes”, Memoires de l’Academie Imperiale des Sciences de St. Petersburg. 8-me S´erie, Vol. 14, no. 7, pp. 1-37.Sciences de St. Petersburg, Vol. 17 (8𝑚𝑒 Serie), no. 3 (1905). pp. 1-31Liapounoff, A.M. 1904, “Sur la stabilite des figures ellipsoidales d’´equilibre d’un liquide anime d’un mouvement de rotation”, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math., 2 ser., Vol. 6, pp. 5-116.Liapunoff, A.M. Sur les figures d’´equilibre peu diff´erentes des ellipsoides d’une masse liquide, homog`ene, dou´ee d’un mouvement de rotation. I partie. Etude generale du probleme // St.-Psb. Imprim. de l’Acad. des Sc., 1906. IV+225 p.Liapounoff, A. 1905, “Sur un probl´eme de Tchebycheff”, Memoires de l’Academie Imperiale des Sciences de St. Petersburg, Vol. 17 (8𝑚𝑒 Serie), no. 3, pp. 1-31.Liapunoff, A.M. Sur les figures d’´equilibre peu diff´erentes des ellipsoides d’une masse liquide, homog`ene, dou´ee d’un mouvement de rotation. II partie. Figures d’equilibre d´eriv´ees des ellipsoides de Maclaurin // St.-Psb. Imprim. de l’Acad. des Sc., 1909. IV+203 p.Liapunoff, A.M. 1906, “Sur les figures d’´equilibre peu diff´erentes des ellipsoides d’une masse liquide, homog`ene, dou´ee d’un mouvement de rotation. I partie. Etude generale du probleme”, St.-Psb. Imprim. de l’Acad. des Sc., IV+225 p.Liapunoff, A.M. Sur les figures d’´equilibre peu diff´erentes des ellipsoides d’une masse liquide, homog`ene, dou´ee d’un mouvement de rotation. III partie. Figures d’´equilibre d´eriv´ees des ellipsoides de Jacobi // St.-Psb. Imprim. de l’Acad. des Sc., 1912. IV+228 p.Liapunoff, A.M. 1909. “Sur les figures d’´equilibre peu diff´erentes des ellipsoides d’une masse liquide, homog`ene, dou´ee d’un mouvement de rotation. II partie. Figures d’equilibre d´eriv´ees des ellipsoides de Maclaurin”, St.-Psb. Imprim. de l’Acad. des Sc., IV+203 p.Liapunoff, A.M. Sur les figures d’´equilibre peu diff´erentes des ellipsoides d’une masse liquide, homog`ene, dou´ee d’un mouvement de rotation. IV partie. Nouvelles formules pour la recherches des figures d’´equilibre // St.-Psb. Imprim. de l’Acad. des Sc., 1914. IV+112 p.Liapunoff, A.M. 1912, “Sur les figures d’´equilibre peu diff´erentes des ellipsoides d’une masse liquide, homog`ene, dou´ee d’un mouvement de rotation. III partie. Figures d’´equilibre d´eriv´ees des ellipsoides de Jacobi”, St.-Psb. Imprim. de l’Acad. des Sc., IV+228 p.Liapounoff A. Sur les ´equations qui appartiennent aux surfaces des figures d’´equilibre d´eriv´ees des ellipsoides d’un liquide homog`ene en rotation // Известiя Императорской Академiи Наукъ. VI серiя, 10:3 (1916), pp. 139–168.Liapunoff, A.M. 1914, “Sur les figures d’´equilibre peu diff´erentes des ellipsoides d’une masse liquide, homog`ene, dou´ee d’un mouvement de rotation. IV partie. Nouvelles formules pour la recherches des figures d’´equilibre”, St.-Psb. Imprim. de l’Acad. des Sc., IV+112 p.Liapounoff A. Nouvelles consid´erations relatives `a la th´eorie des figures d’´equilibre d´eriv´ees des ellipsoides dans le cas d’un liquide homog`ene. Premi`ere partie // Известiя Императорской Академiи Наукъ. VI серiя, 10:7 (1916), pp. 471–502.Liapounoff, A. 1916, “Sur les ´equations qui appartiennent aux surfaces des figures d’´equilibre d´eriv´ees des ellipsoides d’un liquide homog`ene en rotation”, Izvestija Imperatorskoj Akademii Nauk, VI ser., Vol. 10:3, pp. 139–168.Liapounoff A. Nouvelles consid´erations relatives `a la th´eorie des figures d’´equilibre d´eriv´ees des ellipsoides dans le cas d’un liquide homog`ene. Seconde partie // Известiя Императорской Академiи Наукъ. VI серiя, 10:8 (1916), pp. 589–620.Liapounoff, A. 1916, “Nouvelles consid´erations relatives `a la th´eorie des figures d’´equilibre d´eriv ´ees des ellipsoides dans le cas d’un liquide homog`ene. Premi`ere partie”, Izvestija Imperatorskoj Akademii Nauk, VI ser., Vol. 10:7, pp. 471–502.Lichtenstein, L. ¨Uber einige Existenzprobleme der Variationsrechnung // Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik, Vol. 145 (1915), pp. 24–85.Liapounoff, A. 1916, “Nouvelles consid´erations relatives `a la th´eorie des figures d’´equilibre d´eriv ´ees des ellipsoides dans le cas d’un liquide homog`ene. Seconde partie”, Izvestija Imperatorskoj Akademii Nauk, VI ser., Vol. 10:8, pp. 589–620.Lichtenstein, L. Untersuchungen ¨uber die Gleichgewichtsfiguren rotierender Fl¨ussigkeiten, derenLichtenstein, L. 1915, “ ¨Uber einige Existenzprobleme der Variationsrechnung”, J. Reine Angew. Math., Vol. 145, pp. 24–85.Teilchen einander nach dem Newtonschen Gesetze an-ziehen. Erste Abhandlung. Homogene Fl¨ussigkeiten. Allgemeine Existenzs¨atze // Mathematische Zeitschrift 1 (1918): p. 229-284Lichtenstein, L. 1918, “Untersuchungen ¨uber die Gleichgewichtsfiguren rotierender Fl¨ussigkeiten, deren Teilchen einander nach dem Newtonschen Gesetze an-ziehen. Erste Abhandlung. Homogene Fl¨ussigkeiten. Allgemeine Existenzs¨atze”, Math. Zeitschrift, Vol. 1, pp. 229-284.Lichtenstein, L. Vorlesungen ¨uber einige Klassen nichtlinearer Integralgleichungen und IntegroDifferentialgleichungen nebst Anwendungen / Julius Springer, Berlin, 1931. 164 p.Lichtenstein, L. 1931, Vorlesungen ¨uber einige Klassen nichtlinearer Integralgleichungen und Integro-Differentialgleichungen nebst Anwendungen, Julius Springer, Berlin, 164 p.Lichtenstein L. Gleichgewichtsfiguren rotierender Fl¨ussigkeiten. Springer, Berlin 1933, 201 p.Lichtenstein, L. 1933, Gleichgewichtsfiguren rotierender Fl¨ussigkeiten. Springer, Berlin 1933, 201 p.Liouville J. Second M´emoire sur le d´eveloppement des fonctions ou parties de fonctions en s´eries dont les divers termes sont assuj´etis `a satisfaire `a une mˆeme ´equation diff´erentielle du second ordre, contenant un param`etre variable // Journal of Math´ematiques Pures et Appliqu´ees, 1837.Liouville, J. 1837, “Second M´emoire sur le d´eveloppement des fonctions ou parties de fonctions en s´eries dont les divers termes sont assuj´etis `a satisfaire `a une mˆeme ´equation diff´erentielle du second ordre, contenant un param`etre variable ”, J. Math. Pures Appl., Vol. 2, pp. 16-35.– Vol. 2. – pp. 16-35.Liouville, J. 1850, “Sur le theoreme de M. Gauss, concernant le produit des deux rayons de courbure principaux en chaque point d’une surface, Notes IV de J. Liouville a ouvrageLiouville, J. Sur le theoreme de M. Gauss, concernant le produit des deux rayons de courbure principaux en chaque point d’une surface, Notes IV de J. Liouville a ouvrage Applications deApplications de Analyse a la Geometrie par G. Monge”, Bachelier Ed., Paris, pp. 583-600.Analyse a la Geometrie par G. Monge, Paris, Bachelier Ed., 1850. pp. 583-600.Lichtenstein, L. 1965, Figury ravnovesija vrashhajushhejsja zhidkosti [Equilibrium figures of a rotating fluid] Translated from German. Ed. G. N. Duboshin. Nauka, Moscow, 252 p.Лихтенштейн Л. Фигуры равновесия вращающейся жидкости / Перевод с нем. Под ред. Г. Н. Дубошина. М.: Наука, 1965. 252 с.L¨utzen, J. 2003, “Integral equations”, Companion Encyclopedia of the History and PhilosophyL¨utzen J. Integral equations / Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, 2 vols. ed. Grattan-Guinness I. Baltimore : Johns Hopkins University Press, 2003. p. 385-394.of the Mathematical Sciences, ed. Grattan-Guinness I., Johns Hopkins University Press, Baltimore, pp. 385-394.Ляпунов А.М. Собрание сочинений. Т. III. М.-Л. Изд-во АН СССР, 1959 г. 376 с.Lyapunov, A.M. 1959, Collected Works. Vol. III. Izd-vo Akademii Nauk SSSR, Moscow- Leningrad, 376 p.Murphy, R. On the inverse method of definite integrals, with physical applications //Murphy, R. 1833, “On the inverse method of definite integrals, with physical applications”, Trans. Cambridge Philos. Soc., Vol. 4, pp. 353–408.Transactions of the Cambridge Philosophical Society, Vol. 4 (1833), pp. 353–408.Mukhin, R.R. 2018, Ocherki po istorii dinamicheskogo haosa: Issledovanija v SSSR v 1950-- 1980-e gody [Essays on the History of Dynamic Chaos: Research in the USSR in the 1950s-1980s. 2nd edition, stereotyped, URSS, Moscow, 320 p.Мухин Р.Р. Очерки по истории динамического хаоса: Исследования в СССР в 1950--1980-е годы. Изд. 2-е, стереотип. M.: Изд-во URSS. 2018. 320 с.Nazarov, N.N. 1941, “Nonlinear integral equations of Hammerstein’s type”, Acta Universitatis Asiae Mediae, ser. V-а, Mathematicae, Fasciculus 33, pp. 1-79.Назаров Н.Н. Нелинейные интегральные уравнения типа Гаммерштейна. - Труды Среднеазиатского государственного университета. Серия V-а, Математика. Вып. 33., Ташкент,Nazarov, N.N. 1945, “Metody reshenija nelinejnyh integral’nyh uravnenij tipa Gammershtejna” [Methods for solving nonlinear integral equations of Hammerstein type], Acta Universitatis Asiae Mediae, new ser., Fasciculus 6, pp. 3-14.с. 1-79.Nekrasov, A.I. 1919, “O volne Stoksa” [About Stokes wave], Izvestija Ivanovo-Voznesenskogo politehnicheskogo instituta, Iss. 2, pp. 81-89.Назаров Н.Н. Методы решения нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна.Nekrasov, A.I. 1921, “O volnah ustanovivshegosja vida” [About steady-state waves], Izvestija Ivanovo-Voznesenskogo politehnicheskogo instituta, Iss. 3, pp. 52-65.Труды Среднеазиатского государственного университета. Серия 6, физико-математические науки. Ташкент, 1945. С. 3-14.Nekrasov, A.I., 1922, “O preryvnom techenii zhidkosti v dvuh izmerenijah vokrug prepjatstvija v forme dugi kruga” [Discontinuous flow of fluid in two dimensions around an obstacle in the form of an arc of a circle], Izvestija Ivanovo-Voznesenskogo politehnicheskogo instituta, Iss. 5,Некрасов, А. И. О волне Стокса // Известия Иваново-Вознесенского политехнического института, Вып. 2 (1919), с. 81-89.pp. 3-19.Некрасов, А. И. О волнах установившегося вида // Известия Иваново-Вознесенского политехнического института, Вып. 3 (1921), с. 52-65.Nekrasov, A.I. 1922, “O volnah ustanovivshegosja vida na poverhnosti tjazhjoloj zhidkosti” [On steady-state waves on the surface of a heavy liquid], Nauchnye izvestija Akademicheskogo centra NKP, Vol. 3, Physics, pp. 128-138.Некрасов, А. И. О прерывном течении жидкости в двух измерениях вокруг препятствия в форме дуги круга // Известия Иваново- Вознесенского политехнического института, Вып 5. (1922), с. 3-19.Nekrasov, A.I. 1922, “O volnah ustanovivshegosja vida, gl.2. O nelinejnyh integral’nyh uravnenijah” [On steady-state waves, Ch. 2. On nonlinear integral equations], Izvestija Ivanovo-Некрасов, А. И. О волнах установившегося вида на поверхности тяжёлой жидкости //Voznesenskogo politehnicheskogo instituta, Iss. 6, pp. 155-171.Научные известия Академического центра НКП, сб. 3 (1922), Физика, с. 128-138.Nekrasov, A.I. 1922, “O nelinejnyh integral’nyh uravnenijah s postojannymi predelami” [Nonlinear integral equations with constant limits], Izvestija Fizicheskogo instituta i institutaНекрасов, А. И. О волнах установившегося вида, гл.2. О нелинейных интегральных уравнениях // Известия Иваново- Вознесенского политехнического института, Вып. 6 (1922),biologicheskoj fiziki, Iss. 2, pp. 221-238.с. 155-171.Nekrasov, A.I. 1928, “O volnah ustanovivshegosja vida na poverhnosti tjazhjoloj zhidkosti (konechnoj glubiny)” [On steady-state waves on the surface of a heavy liquid (finite depth)],Некрасов, А. И. О нелинейных интегральных уравнениях с постоянными пределами // Известия Физического института и института биологической физики, Вып. 2 (1922), с. 221-238.Proceedings of the All-Russian. Math. Congress of 1927 in Moscow, Moscow-Leningrad, pp. 258-262.Некрасов, А. И. О волнах установившегося вида на поверхности тяжёлой жидкости (конечной глубины) // Тр. Всеросс. математ. съезда 1927 г. в Москве. М.-Л., 1928. с. 258-262.Nekrasov, A.I. 1951, Tochnaja teorija voln ustanovivshegosja vida na poverhnosti tjazheloj zhidkosti [Exact theory of steady-state waves on the surface of a heavy liquid], Izd-vo AkademiiНекрасов, А. И. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости / М. : Изд-во АН СССР, 1951. – 96 с.Nauk SSSR, Moscow, 96 p.Некрасов, А. И. Собрание сочинений, Т. 1. Отв. ред. Я.И. Секерж-Зенькович. М. : Изд-во АН СССР, 1961. – 444 с.Nekrasov, A.I. 1961, Collected Works, Vol. 1 . Executive editor Ya.I. Sekerzh-Zenkovich, Izd-vo Akademii Nauk SSSR, Moscow, 444 p.Neumann C. Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung:...= 0 // Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik. – 1861. – Vol. 59. – pp. 335-366.Neumann, C.1861,“ Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung:...= 0”, J. Reine Angew. Math.,Vol. 59, pp. 335-366.Neumann C. Untersuchungen ¨uber das Logarithmische und Newton’sche Potential // Mathematische Annalen, Vol. 13 (1878), pp. 255–300.Neumann, C. 1878, “ Untersuchungen ¨uber das Logarithmische und Newton’sche Potential”, Math. Annalen, Vol. 13, pp. 255–300.Picard E. M´emoire sur la th´eorie des ´equations aux d´eriv´ees partielles et la m´ethode des approximations successives // Journal of Math´ematiques Pures et Appliqu´ees, 1890. – Vol.Picard, E. 1890, “ M´emoire sur la th´eorie des ´equations aux d´eriv´ees partielles et la m´ethode des approximations successives ”, J. Math. Pures Appl, Vol. 6, pp. 145-210.– pp. 145-210.Picard, E. 1896, Trait´e d’Analyse, t. III. Gauthier-Villars. Paris, 568 p.Picard E. Trait´e d’Analyse, t. III. Gauthier-Villars. Paris, 1896. 568 p.Poincar´e, Н. 1885, “ Sur l’´equilibre d’une masse fluide anim´ee d’un mouvement de rotation ”, Acta math., Vol. 7, no. 1, pp. 259-380.Poincar´e, Н. Sur l’´equilibre d’une masse fluide anim´ee d’un mouvement de rotation // Acta mathematica, Vol. 7 (1885), no. 1, pp. 259-380.Poincar´e, Н. 1888, “ Sur l’´equilibre d’une masse h´et´erog`ene en rotation”, CR, Vol. 106, pp. 1571-1574.Poincar´e, Н. Sur l’´equilibre d’une masse h´et´erog`ene en rotation // Comptes rendus de l’Acad´emie des Sciences, Vol. 106 (1888), pp. 1571-1574.Poincar´e, H. 1897, “La m´ethode de Neumann et le probleme de Dirichlet”, Acta math., Vol. 20, pp. 59-142.Poincar´e H. La m´ethode de Neumann et le probleme de Dirichlet //Acta mathematica, 1897.Poincar´e, H. 1902, Figures d’´equilibre d’une masse fluide: le¸cons profess´ees `a la Sorbonne en 1900, Gauthier-Villars, Paris, 211 p.– Vol. 20. – pp. 59-142.Poincar´e, H. 1974, “Fuksovy funkcii i uravnenie Δ𝑢 = 𝑒𝑢” [Fuchsian functions and equation Δ𝑢 = 𝑒𝑢], In Poincar´e A. Selected Works in Three Volumes. Vol. III. Mathematics. Nauka,Poincar´e H. Figures d’´equilibre d’une masse fluide: le¸cons profess´ees `a la Sorbonne en 1900. Paris, Gauthier-Villars, 1902. 211 p.Moscow, pp. 235-309.Пуанкаре А. Фуксовы функции и уравнение Δ𝑢 = 𝑒𝑢. В кн. Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах.Т. III. Математика. М.: Наука 1974. с. 235-309.Poincar´e, H. 2000, Figury ravnovesija zhidkoj massy [Figures of equilibrium of liquid mass], Reguljarnaja i haoticheskaja dinamika, Izhevsk, 208 p.Пуанкаре А. Фигуры равновесия жидкой массы. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2000. 208 с.Puiseux, V. 1850, “Recherches sur les fonctions alg´ebriques”, J. Math. Pures Appl., 1re s´erie, t. 15, pp. 365-480.Puiseux, V. Recherches sur les fonctions alg´ebriques // Journal of Math´ematiques Pures et Appliqu´ees, 1re s´erie, t. 15, (1850): pp. 365-480.Radau, R.R. 1885, “Remarques sur la th´eorie de la figure de la Terre”, Bull. astronom., t. II, pp. 157-161.Radau, R.R. Remarques sur la th´eorie de la figure de la Terre // Bulletin astronomique, t. II (1885), pp. 157-161.Ritz, W. 1909, “ ¨Uber eine neue Methode zur L¨osung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik”, J. Reine Angew. Math.,Vol. 135, pp. 1–61.Ritz W. ¨Uber eine neue Methode zur L¨osung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik // Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik, Vol. 135 (1909), pp. 1–61.Sekerzh-Zen’kovich, Ya. I. 1960, “Aleksandr Ivanovich Nekrasov (on the 75th anniversary of his birth)”, Uspekhi Mat. Nauk, Vol. 15:1(91), pp. 153–162.Секерж-Зенькович, Я. И. Александр Иванович Некрасов (к семидесятипятилетию со дня рождения), Успехи математических наук, Том 15:1(91) (1960), С. 153–162.Smirnov, N.S. 1936, Vvedenie v teoriju nelinejnyh integral’nyh uravnenij, [Introduction to the theory of nonlinear integral equations], ONTI, Moscow-Leningrad, 124 p.Смирнов Н. С. Введение в теорию нелинейных интегральных уравнений. Л.-М.: Объединённое научно-техническое издательство, 1936. 124 с.Smirnov, V.I. 1948, Ocherki nauchnyh trudov Ljapunova [Essays on Lyapunov’s scientific works], In Lyapunov A.M. Selected Works. Izd-vo Akademii Nauk SSSR, Leningrad, pp.341- 450.Смирнов В.И. Очерки научных трудов Ляпунова / Ляпунов А.М. Избранные труды. Л.: Изд-во Академии наук СССР, 1948. С.341-450.Smirnov, V.I., Yushkevich, A.P. 1985, Perepiska A.M. Ljapunova s A. Puankare i P. Djujemom [Correspondence of A.M. Lyapunov with A. Poincar´e and P. Duhem], Ist.-Mat. Issled., Vol. 29, pp. 265-284.Смирнов В. И., Юшкевич А. П. Переписка А.М. Ляпунова с А. Пуанкаре и П. Дюэмом // Историко-математические исследования, М., 1985. – Т. 29. – С. 265-284.Todhunter, I.1873, A History of the Mathematical Theories of Attraction and the Figure of the Earth: From the Time of Newton to that of Laplace. In 2 Volumes. Vol. II., Macmillan, London,Todhunter I. A History of the Mathematical Theories of Attraction and the Figure of the Earth: From the Time of Newton to that of Laplace. In 2 Volumes. Vol. II. London, Macmillan, 1873. 508p.p.Fourier J. B. J. Th´eorie analytique de la chaleur. Paris, F. Didot, 1822. 639 p.Fourier, J. B. J. 1822, Th´eorie analytique de la chaleur, F. Didot, Paris, 639 p.Fredholm, I. Sur une classe d’´equations fonctionnelles // Acta mathematica, Vol. 27 (1903), pp. 365—390.Fredholm, I. 1903, “Sur une classe d’´equations fonctionnelles”, Acta math., Vol. 27, pp. 365—390.Fredholm I. Les ´equations int´egrales lin´eaires // CR Congr´es des Math. tenua Stockholm 1909. – 1909. pp. 92-100.Fredholm, I. 1909, “Les ´equations int´egrales lin´eaires”, CR Congr´es des Math. tenua Stockholm 1909, pp. 92-100.Хведелидзе Б.В. Уравнения Ляпунова-Шмидта / Математическая энциклопедия в пяти томах. Ред. И.М. Виноградов. Т.3. М., 1982. C. 473-474.Khvedelidze, B.V. 1982, “Uravnenija Ljapunova-Shmidta” [Lyapunov-Schmidt equations], Matematicheskaja jenciklopedija v pjati tomah. Vol. 3. Ed. I.M. Vinogradov, Moscow, pp.Hellinger E. und Toeplitz O. Integralgleichungen und Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten. Sonderausgabe aus der Encyklop¨adie der mathematischen Wissenschaften. Mit-474.einem Vorwort von E. Hilb. Verlag B. G. Teubner, Leipzig und Berlin 1928. S. 1335- 1616.Hellinger, E. & Toeplitz, O. 1928, Integralgleichungen und Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten. Sonderausgabe aus der Encyklop¨adie der mathematischen Wissenschaften. MitSchmidt, E.. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I Teil. Entwicklung willk¨urlichen Funktionen nach System vorgeschriebener // Mathematische Annalen, Vol.einem Vorwort von E. Hilb, Verlag B. G. Teubner, Leipzig - Berlin, pp. 1335- 1616.(1907), pp. 433–476.Schmidt, E.1907, “Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I Teil. Entwicklung willk¨urlichen Funktionen nach System vorgeschriebener”, Math. Annalen, Vol. 63,Schmidt, E. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. II. Teil. Aufl¨osung der allgemeinen linearen Integralgleichung // Mathematische Annalen, Vol. 64 (1907), pp. 161- 174.pp. 433–476.Schmidt E. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. III. Teil. ¨Uber die Aufl¨osung der nichtlinearen Integralgleichung und die Verzweigung ihrer L¨osungen // Mathematische Annalen – 1908. – Vol. 65, pp. 370-399.Schmidt, E. 1907, “Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. II. Teil. Aufl¨osung der allgemeinen linearen Integralgleichung”, Math. Annalen, Vol. 64, pp. 161-174.Schwarz H.A. Ueber ein die Fl¨achen kleinsten Fl¨acheninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung (Festschrift zum Jubelgeburtstage des HerrnWeierstrass) // Acta societatis scientiarum Fennicae, 15 (1885). pp. 315–362Schmidt, E. 1908, “Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. III. Teil. ¨Uber die Aufl¨osung der nichtlinearen Integralgleichung und die Verzweigung ihrerУрысон П. C., Об одном типе нелинейных интегральных уравнений // Математический сборник, 31:2 (1923), С. 236–255.L¨osungen”, Math. Annalen, Vol. 65, pp. 370-399.Урысон П.С. Труды по топологии и другим областям математики. Прим. и ступит. статья П.С. Александрова, т. 1, М.-Л., Государственное издательство технико-теоретическойSchwarz, H.A.1885 “Ueber ein die Fl¨achen kleinsten Fl¨acheninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung (Festschrift zum Jubelgeburtstage des Herrn Weierstrass)”, Acta societatis scientiarum Fennicae, Vol. 15. pp. 315–362.литературы, 1951. 514 с.Urysohn, P. 1923, ”Sur une classe d´equations int´egrales non lineaires”, Mat. Sb., Vol. 31:2, pp. 236–255.Урысон П.С. Труды по топологии и другим областям математики. Прим. и ступит. статья П.С. Александрова, т. 2, М.-Л., Государственное издательство технико-теоретическойUrysohn, P.S. 1951, Trudy po topologii i drugim oblastjam matematiki [Transactions in topology and other areas of mathematics. Notes and introductory article by P.S. Alexandrov], Vol. 1, GITTL, Moscow-Leningrad, 514 p.литературы, 1951. 480 с.Urysohn, P.S. 1951, Trudy po topologii i drugim oblastjam matematiki. [Transactions in topology and other areas of mathematics. Notes and introductory article by P.S. Alexandrov], Vol. 2, GITTL, Moscow-Leningrad, 480 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.