кандидат физико-математических наук, доцент
candidate of physics and mathematics sciences, docent
кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
кандидат физико-математических наук, доцент
candidate of physical and mathematical sciences, associate professor
профессор, доктор физико-математических наук
doctor of physical and mathematical sciences, professor
В предыдущей работе авторов заложены основы теории гладких многообразий теоретико-числовых решёток. Рассмотрен простейший случай одномерных решёток.В данной статье рассмотрен случай одномерных сдвинутых решёток. Прежде всего рассмотрено построение метрического пространства сдвинутых решёток с помощью отображения одномерных сдвинутых решёток в пространство двумерных решёток.В работе определено гомеоморфное отображение пространства одномерных сдвинутых решёток на бесконечный двумерный цилиндр. Тем самым установлено, что пространство одномерных сдвинутых решёток 𝐶𝑃𝑅2 локально евклидово пространство размерности 2.Так как метрика на этих пространствах не является евклидовой, а относится к числу "логарифмических" , то получаются в одномерном случае неожиданные результаты опроизводных от основных функций, таких как детерминант решётки, гиперболический параметр решётки, норменный минимум, дзета-функция сдвинутой решётки и гиперболическая дзета-функция сдвинутой решётки.Отметим, что геометрия метрического пространств многомерных решёток и сдвинутых многомерных решёток гораздо сложнее чем геометрия обычного евклидова пространства. Это видно из парадокса неаддитивности длины отрезка в пространстве сдвинутых одномерных решёток. Из наличия этого парадокса следует, что стоит открытой проблема описания геодезических линий в пространствах многомерных решёток и многомерных сдвинутых решёток, а так же в нахождении формулы для длины дуг линий в этих пространствах. Естественно, что было бы интересно не только описание этих объектов, но и получения теоретико-числовой интерпретации этих понятий.Дальнейшем направлением исследованием может быть изучение аналитического продолжения гиперболической дзета-функции на пространствах решёток и многомерных ре-шёток. Как известно, аналитическое продолжение гиперболической дзета-функции решёток построено для произвольной декартовой решётки. Не изучен даже вопрос о непрерывности этих аналитических продолжений в левой полуплоскости на пространстве решёток.Всё это, на наш взгляд, актуальные направления дальнейших исследований.
In the previous work, the authors laid the foundations of the theory of smooth varieties of number-theoretic lattices. The simplest case of one-dimensional lattices is considered.This article considers the case of one-dimensional shifted lattices. First of all, we consider the construction of a metric space of shifted lattices by mapping one-dimensional shifted latticesto the space of two-dimensional lattices.In this paper, we define a homeomorphic mapping of the space of one-dimensional shifted lattices to an infinite two-dimensional cylinder. Thus, it is established that the space of onedimensionalshifted lattices 𝐶𝑃𝑅2 is locally a Euclidean space of dimension 2.Since the metric on these spaces is not Euclidean, but is "logarithmic" , unexpected results are obtained in the one-dimensional case about derivatives of basic functions, such as the determinant of the lattice, the hyperbolic lattice parameter, the norm at least, the Zeta function and lattice hyperbolic Zeta function of lattices.The paper considers the relationship of these functions with the issues of studying the error of approximate integration over parallelepipedal grids as the determinant of the lattice, thehyperbolic lattice parameter, the norm at least, the Zeta function and lattice hyperbolic Zeta function of lattices.Note that the geometry of metric spaces of multidimensional lattices and shifted multidimensional lattices is much more complex than the geometry of an ordinary Euclidean space.This can be seen from the paradox of nonadditivity of the length of a segment in the space of shifted one-dimensional lattices. From the presence of this paradox, it follows that there isan open problem of describing geodesic lines in the spaces of multidimensional lattices and multidimensional shifted lattices, as well as in finding a formula for the length of the arcs oflines in these spaces. Naturally, it would be interesting not only to describe these objects, but also to obtain a number-theoretic interpretation of these concepts.A further direction of research may be the study of the analytical continuation of the hyperbolic zeta function on the spaces of lattices and multidimensional lattices. As is known, ananalytical continuation of the hyperbolic zeta function of lattices is constructed for an arbitrary Cartesian lattice. Even the question of the continuity of these analytic continuations in the lefthalf-plane on the lattice space has not been studied. All these, in our opinion, are relevant areas for further research.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.