chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-3-179-195cheb-1087Research ArticleСтатьиArticleО некоторых аддитивных проблемах гольдбахова типаOn some additive problems of Goldbach’s typeСалибаХолем МансурSalibaHolem Mansour

кандидат физико-математических наук

Ph.D. in physics and mathematics

qwe123@rocketmail.comЧубариковВладимир НиколаевичChubarikovVladimir Nikolaevich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

chubarik2009@live.ruуниверситет Нотр-Дам-ЛуэзЛиванNotre Dame University-LouaizeLebanonМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation202111112021223179195Copyright © Салиба Х., Чубариков В.Н., 20212021Салиба Х., Чубариков В.Н.Saliba H., Chubarikov V.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1087

В данной работе найдена асимптотическая формула для числа решений нелинейной тернарной проблемы с простыми числами, остаток в которой имеет степенное понижение. Вывод ее использует “явную формулу” для числа простых, не превосходящих любой наперед заданной границы, через нули дзета-функции Римана. По существу решается тернарная задача на “каждом нуле”.Исследование подобных задач стало возможным после решения в 1937 г. И. М. Виноградовым тернарной проблемы Гольдбаха [1], [2]. В 1938 г. он нашел оценку среднегозначения модуля тригонометрической суммы по простым со степенным понижением относительно длины промежутка суммирования ([2], теорема 3, с.82; теоремы 6 и 7, с.86).Начиная с 1996 г. Г. И. Архипов, К.Буриев и автор [6]-[9], используя еще соображения из теории диофантовых приближений и “явную формулу” для числа простых чисел в теории дзета-функции Римана, получили несколько результатов для исключительного множества в бинарных проблемах гольдбахова типа. В работах Г. Л. Ватсона, Д. Брюдерна, Р. Д. Кука и А. Перелли [10]-[12] дополнительно к этому развивается подход, связанный с теорией меры, для уточнения оценок линейных тригонометрических сумм с простыми числами.

In this paper, we find an asymptotic formula with power-saving remainder term for the number of solutions of one non-linear ternary problem with primes. The proof is based on the "precise formula"for Chebyshev’s function involving the zeros of Riemann zeta function. In fact, a ternary problem "at each zero"is solved. I. M. Vinogradov’s solution of the ternary Goldbach problem (1937, see [1], [2]) opened the way of solving a wide class of problems of the above type. In 1938, he found a power-saving estimate (with respect to the length of the summation interval) for the mean value of the modulus of the exponential sum with primes (see [2], theorem 3, p.82; theorems 6 and 7, p.86). Starting at 1996, G.I.Arkhipov, K.Buriev and the author have obtained several results concerning the exceptional sets in some binary problems of Goldbach’s type. These results used both the tools of the theory of Diophantine approximations and the "precise formulas"from Riemann’s zeta function theory. At the same time, the method of estimating of linear sums with primes based on the measure theory was derived in the papers of G. L. Watson, D. Bruedern, R. D. Cook and A. Perelli.

a ternary problem with primesexplicit formulas for the P.L.Chebyshev functiona “dense” theorem for zeros of the Riemann zeta-function.algebraic latticesalgebraic nettrigonometric sums of algebraic net with weightsweight functions.ReferencesВиноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. 2-е изд., исправленное и дополненное — М.: Физматлит. 1980, 144 с.Vinogradov I. M. 1980. The method of trigonometric sums in the theory of numbers. 2nd Edition., correct.and supplement. — Moscow.: Fizmatlit. pp. 144.Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. — М.: Физматлит. 1976, 144 с.Vinogradov I. M. 1976. Special variants of the trigonometrical sums method. — M.: Fizmatlit, pp. 144.Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.: Физматлит. 1983Vinogradov I. M. 1983. Elements of the number theory. — M.: Fizmatlit, pp. 160.Hua Loo-Keng. Selected Papers. — N.-Y.,Heidelberg, Berlin, 1983. pp.888.Hua Loo-Keng. 1983. Selected Papers. — N.-Y.,Heidelberg, Berlin, pp.888.Hua Loo-Keng. Some results in the additive prime number theory // Quart. J. Math. Oxford. 1938. V.9. P.68-80.Hua Loo-Keng. Some results in the additive prime number theory. Quart. J. Math. Oxford. 1938. V.9. P.68-80.Архипов Г. И. Избранные труды. — Орёл: Изд-во Орловского ун-та, 2013, 464 с.Arkhipov G. I., 2013. Selected papers. — Orjol: Publ.House of the Orjol University, pp. 464.Архипов Г. И., Буриев К., Чубариков В. Н. О мощности исключительного множества в бинарной аддитивной проблеме гольдбахова типа // Тр. МИАН, 1997, т.218, с. 28-57.Arkhipov G. I., Buriev K., Chubarikov V. N., 1997. On a cardinality of a exceptional set in the binary additive problem of Goldbach’s type. Proc. of Steklov institute, v.218, p. 28-57.Архипов Г. И., Чубариков В. Н. Об исключительном множестве в бинарной проблеме гольдбахова типа // Докл. РАН, 2002, т.387, №3, с. 295-296.Arkhipov G. I., Chubarikov V. N.,2002. On the exceptional set in the binary problem of the Goldbach’s type. Dokl. RAS, v.387, №3, p. 295-296.Архипов Г. И., ЧубариковВ. Н. О мере “больших дуг” в разбиении Фарея // Чебышевский сборник, 2011, т.12, вып. 4, с. 39-42.Arkhipov G. I., Chubarikov V. N.,2011. On the measure of “ large arcs ” in the Farey tiling. Chebyshev sbornik, v.12, issue. 4, p. 39-42.Br¨udern J., Cook R. J., Perelli A. The Values of Binary Linear Forms at Prime Arguments // In book: Sieve Methods, Exponential Sums and their Applications in Number Theory.Br¨udern J., Cook R. J., Perelli A. 1996. The Values of Binary Linear Forms at Prime Arguments. In book: Sieve Methods, Exponential Sums and their Applications in Number Theory.Greaves G. R. H., Harman G., Huxley M. N., Eds. Cambridge University Press, 1996, p. 87-100.Greaves G. R. H., Harman G., Huxley M. N., Eds. Cambridge University Press, p. 87-100.Br¨udern J. Some additive problems of Goldbach’s type // Functiones et Approximatio. 2000, V. XXVIII, p. 45-73.Br¨udern J. 2000. Some additive problems of Goldbach’s type. Functiones et Approximatio. V. XXVIII, p. 45-73.Watson G. L. On indefinite quadratic forms in five variables // Proc. London Math. Soc., 1953, 3(3), p. 170-181.Watson G. L. 1953. On indefinite quadratic forms in five variables. Proc. London Math. Soc., 3(3), p. 170-181.Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм. — М.: Наука. Гл. ред.физ.-мат. лит. 1987, 368 с.Arkhipov G. I.„ Karatsuba A. A., Chubarikov V. N. 1987. The theory of multiple trigonometric sums. — Moscow.: Nauka. Fizmatlit. 368 с.Arkhipov G. I., Chubarikov V. N., Karatsuba A. A. Trigonometric sums in number theory and analysis. De Gruyter expositions in mathematics; 39 — Berlin, New York: Walter de Gruyter, 2004, pp. 554.Arkhipov G. I., Chubarikov V. N., Karatsuba A. A. 2004. Trigonometric sums in number theory and analysis. De Gruyter expositions in mathematics; 39 — Berlin, New York: Walter deMontgomery H. L., Vaughan R. C. The exceptional set of Goldbach’s problem // Acta arithm. 1975. V. 27. P. 353–370.Gruyter, pp. 554.Cheng Jing-run, Liu Jian MIn. The exceptional set of Goldbach-numbers (III) // Chinese Quart. J. Math. 1989. V.4. No. 1. P. 1–15.Montgomery H. L., VaughanR. C. 1975. The exceptional set of Goldbach’s problem. Acta arithm. V. 27. P. 353–370.Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд. — М.:Наука. Гл.ред.физ.- мат.лит-ры, 1983. 240 с.Cheng Jing-run, Liu Jian Min. 1989. The exceptional set of Goldbach-numbers (III). Chinese Quart. J. Math. V.4. No. 1. P. 1–15.Pan Chengdong, Pan Chenbiao. Goldbach conjecture. — Bejing (China), Science Press, 1992. pp.240.Karatsuba A. A. 1983. Foundations of analytic number theory. 2nd Ed. — M.:Nauka. Gl. red. phis. -math. literature, pp. 240 (in Russian).Касселс Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений. — М.: Изд-во иностр. лит. 1961. pp.213.Pan Chengdong, Pan Chenbiao. 1992. Goldbach conjecture. — Bejing (China), Science Press, pp. 240.Прахар К. Распределение простых чисел. — М.: Мир. 1967. pp.512.Cassels J. B. C. 1961. An introduction to Diophantine approximation. — M.: Izd-vo inostr. lit., pp. 213.Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. 4-е изд., испр. — М.: Дрофа. 2004, 640 с.Prahar K. 1967. Distribution of prime numbers. — M.: Mir, pp.512.Попов О. В. Арифметические приложения оценок сумм Г.Вейля от многочленов растущей степени. Канд. дис. — М.: МГУ. 1995.Arkhipov G. I.„ Sadovnichii V. A., Chubarikov V. N. 2004. Lecture on mathematical analysis. 4th Ed., corr. — M.: Drofa. pp. 640.Тырина О. В. Средние значения тригонометрических сумм. Канд. дис. — М.: МГУ. 1989.Popov O. V. 1995. Arithmetical applicatications of the H.Weyl’s sums estimates from polynomials of a rising degree. Candidate thesis. — M.: MSU.Чубариков В. Н. Кратные тригонометрические суммы с простыми числами // Докл. АН СССР, 1984, 278, No. 2, 302–304.Tyrina O. V. 1989. Mean-values of trigonometric sums. Candidate thesis. — M.: MSU.Чубариков В. Н. Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами // Изв. АН СССР, сер.матем., 1985, 49, No. 5, 1031–1067.Chubarikov V. N. 1984. Multiple trigonometric sums with primes. Doklady AN SSSR, 278, № 2, 302–304.Chubarikov V. N. 1985. Estimates of multiple trigonometric sums with primes. Izvestija. AN SSSR, Ser.Matem., 49, № 5, 1031–1067.Chubarikov V. N. 1985. Estimates of multiple trigonometric sums with primes. Izvestija. AN SSSR, Ser.Matem., 49, № 5, 1031–1067.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.