кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
кандидат физико-математических наук, доцент
candidate of physical and mathematical sciences, associate professor
профессор, доктор физико-математических наук
doctor of physical and mathematical sciences, professor
В работе продолжены исследования авторов по оценке тригонометрических сумм алгебраической сетки с весами. Рассмотрен случай произвольной весовой функции бесконечного порядка.Для параметра m-> тригонометрической суммы 𝑆𝑀(𝑡),⃗𝜌∞(⃗𝑚) выделены три случая.Если m-> принадлежит алгебраической решётке Λ(𝑡 · 𝑇(⃗𝑎)), то для любого натурального 𝑟 справедлива асимптотическая формула 𝑆𝑀(𝑡),⃗𝜌∞(𝑡(𝑚, . . . ,𝑚)) = 1 + 𝑂 (︂ ln𝑠−1 det Λ(𝑡) (det Λ(𝑡))𝑟+1 )︂.Если ⃗𝑚 не принадлежит алгебраической решётке Λ(𝑡 ·𝑇(⃗𝑎)), то определены два вектора ⃗𝑛Λ(⃗𝑚) = (𝑛1, . . . , 𝑛𝑠) и ⃗𝑘Λ(⃗𝑚) из условий ⃗𝑘Λ(⃗𝑚) ∈ Λ, ⃗𝑚 = ⃗𝑛Λ(⃗𝑚) + ⃗𝑘Λ(⃗𝑚) и произведение 𝑞(⃗𝑛Λ(⃗𝑚)) = 𝑛1 · . . . ·𝑛𝑠 минимально. Для любого натурального 𝑟 доказана асимптотическая оценка|𝑆𝑀(𝑡),⃗𝜌∞(⃗𝑚)| 6 𝐵(𝑟,∞) (︃ 1 − 𝛿(⃗𝑘Λ(⃗𝑚)) (𝑞(⃗𝑛Λ(⃗𝑚)))𝑟+1 + 𝑂(︂ 𝑞(⃗𝑛Λ(⃗𝑚))𝑟+1 ln𝑠−1 det Λ(𝑡) (det Λ(𝑡))𝑟+1 )︂)︃.
The paper continues the authors ’ research on the evaluation of trigonometric sums of an algebraic grid with weights. The case of an arbitrary weight function of infinite order is considered.For the parameter ⃗𝑚 of the trigonometric sum 𝑆𝑀(𝑡),⃗𝜌∞(⃗𝑚), three cases are highlighted. If ⃗𝑚 belongs to the algebraic lattice Λ(𝑡·𝑇(⃗𝑎)), then for any natural 𝑟 the asymptotic formulais valid 𝑆𝑀(𝑡),⃗𝜌∞(𝑡(𝑚, . . . ,𝑚)) = 1 + 𝑂 (︂ ln𝑠−1 det Λ(𝑡) (detΛ(𝑡))𝑟+1)︂.If ⃗𝑚 does not belong to the algebraic lattice Λ(𝑡·𝑇(⃗𝑎)), then two vectors are defined ⃗𝑛Λ(⃗𝑚) =(𝑛1, . . . , 𝑛𝑠) and ⃗𝑘Λ(⃗𝑚) from the conditions ⃗𝑘Λ(⃗𝑚) ∈ Λ, ⃗𝑚 = ⃗𝑛Λ( ⃗𝑀)+ ⃗𝐾𝜆(⃗𝑚) and the product𝑞(⃗𝑛𝜆(⃗𝑚)) = 𝑛1 · . . . · 𝑛𝑠 is minimal. Asymptotic estimation is proved|𝑆𝑀(𝑡),⃗𝜌∞(⃗𝑚)| 6 𝐵(𝑟,∞)(︃1 − 𝛿(⃗𝑘Λ(⃗𝑚))(𝑞(⃗𝑛Λ(⃗𝑚)))𝑟+1 + 𝑂(︂𝑞(⃗𝑛Λ(⃗𝑚))𝑟+1 ln𝑠−1 det Λ(𝑡)(det Λ(𝑡))𝑟+1)︂)︃.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.