chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-3-143-153cheb-1084Research ArticleСтатьиArticleМногочлены с малыми значениями в окрестностях корней в архимедовой и неархимедовой метрикахPolynomials with small values in the neighborhoods of zeros in Archimedean and non-Archimedean metricsЛуневичАртём ВадимовичLunevichArtyom Vadimovich

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник

candidate of physical and mathematical sciences, researcher

lunevichav@gmail.comШамуковаНаталья ВалентиновнаShamukovaNatalya Valentinovna

кандидат физико-математических наук, доцент

candidate of physical and mathematical sciences

shamukova_n@mail.ruИнститут математики НАН БеларусиБеларусьInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusBelarusУниверситет гражданской защиты Министерства по чрезвычайным ситуациям Республики БеларусьБеларусьUniversity of Civil Protection of the Ministry of Emergency Situations of BelarusBelarus202111112021223143153Copyright © Луневич А.В., Шамукова Н.В., 20212021Луневич А.В., Шамукова Н.В.Lunevich A.V., Shamukova N.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1084

Для натурального 𝑄 > 1 обозначим 𝐼 — интервал 𝐼 ⊂ R длины 𝜇1𝐼 = 𝑄−𝑣1 , 𝑣1 > 0 (𝜇1 − мера Лебега) и 𝜇2𝐾=𝑄−𝑣2 , 𝑣2 > 0 (𝜇2 − мера Хаара измеримого цилиндра 𝐾⊂Q𝑝).Введем множество полиномов степени ≤ 𝑛 и высоты 𝐻 (𝑃) ≤ 𝑄 𝒫𝑛 (𝑄) = {𝑃 ∈ Z[𝑥] : deg 𝑃 ≥ 𝑛, 𝐻 (𝑃) ≤ 𝑄} .Для таких многочленов обозначим 𝒜(𝑛,𝑄) множество действительных корней, и 𝑝-адических корней 𝑃 (𝑥), лежащих в пространстве 𝑉 = 𝐼 × 𝐾. В работе доказано, чтоподходящем 𝑐1 = 𝑐1 (𝑛) и 0 ≤ 𝑣1, 𝑣2 6 1 2 справедливо неравенство #𝒜(𝑛,𝑄) > 𝑐1𝑄𝑛+1−𝑣1−𝑣2 .Доказательство проводится методами метрической теории диофантовых приближений, разработанных В. Г. Спринджуком при доказательстве гипотезы Малера и В. И. Берника при доказательстве гипотезы А. Бейкера.

For a positive integer 𝑄 > 0, let 𝐼 ⊂ R denote an interval of length 𝜇1𝐼 = 𝑄−𝛾1 (where 𝜇1 is the Lebesgue measure) and 𝜇2𝐾 = 𝑄−𝛾2 , 𝛾2 > 0 (where 𝜇2 is the Haar measure of a measurable cylinder 𝐾 ⊂ Q𝑝). Let us denote the set of polynomials of degree ≤ 𝑛 and height 𝐻 (𝑃) ≤ 𝑄 as 𝒫𝑛 (𝑄) = {𝑃 ∈ Z[𝑥] : deg 𝑃 ≥ 𝑛, 𝐻 (𝑃) ≤ 𝑄} .Let 𝒜(𝑛,𝑄) denote the set of real and 𝑝-adic roots of such polynomials 𝑃 (𝑥) lying in the space 𝑉 = 𝐼 ×𝐾. In this paper it is proved that the following inequality holds for a suitable constant𝑐1 = 𝑐1 (𝑛) and 0 ≤ 𝑣1, 𝑣2 6 1 2 : #𝒜(𝑛,𝑄) > 𝑐1𝑄𝑛+1−𝛾1−𝛾2 .The proof relies on methods of metric theory of Diophantine approximation developed by V.G. Sprindzuk to prove Mahler’s conjecture and by V.I. Bernik to prove A. Baker’s conjecture.

Мера Лебегамера Хаараалгебраические числадиофантовы при- ближениянеприводимые многочленыLebesgue measureHaar measurealgebraic numbersDiophantine approximationirreducible polynomials.Исследование выполнено при содействии гранта БРФФИ (проект Ф19М-088).ReferencesV. I. Bernik, An application of Haudorff dimension in the theory of Diophantine approximation // Acta. Arith. 1983. Vol. 42, P. 219-253.V. I. Bernik. 1983, “An application of Haudorff dimension in the theory of Diophantine approximation“, Acta. Arith., Vol. 42, P. 219-253.V. I. Bernik. N. Kalosha. Approximation of zero by values ol integral polvnomials in space R × C × Q𝑝 // Vesti NAN of Belarus Ser. fiz-mat nauk. 2004. Vol. 1. P. 121-123.V. I. Bernik. N. Kalosha. 2004, “Approximation of zero by values ol integral polvnomials in space R × C × Q𝑝“, Vesti NAN of Belarus Ser. fiz-mat nauk, Vol. 1. P. 121-123.Bernik, V. I., Gotze, F., Distribution of real algebraic numbers of arbitrary degree in short intervals // Izvestiya: Mathematics. 2015. Vol. 79, №. 1. P. 18-39.Bernik, V. I., Gotze, F. 2015, “Distribution of real algebraic numbers of arbitrary degree in short intervals“, Izvestiya: Mathematics., Vol. 79, №. 1. P. 18-39.Спринджук, В. Г. Доказательство гипотезы Малера о мере множества S-чисел / В. Г. Спринджук // Изв. АН СССР, сер. мат. — 1965. — Т. 29, №2. — С. 379-436.Sprindzuk, V. G. 1965, “Dokazatelstvo gipotezi malera o mere mnozesstva S-chisel“, Izv. AN SSSR, ser. mat., Vol. 29, № 2. P. 379-436.Спринджук, В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел / В. Г. Спринджук // Минск: Наука и техника. — 1967. — 181 с.Sprindzuk, V. G. 1967, “Problema malera v metricheskoi teorii chisel“, Minsk: Nauka i tehnika, P. 181.Schmidt, W. M., Diophantine Approximation // Springer. 1980. P. 312.Schmidt, W. M. 1980, “Diophantine Approximation“, Springer, P. 312.Baker, A., Linear Forms in the Logarithms of Algebraic Numbers // I, Mathematika. 1966. Vol.12. P.204–216.Baker, A. 1996, “Linear Forms in the Logarithms of Algebraic Numbers“, I, Mathematika, Vol. 12. P.204–216.Beresnevich, V. V., On approximation of real numbers bv real algebraic numbers // Acta Arith. 1999. Vol. 90. P. 97-112.Beresnevich, V. V. 1999, “On approximation of real numbers bv real algebraic numbers“, Acta Arith., Vol. 90. P. 97-112.Bernik, V. I., The exact order of approximating zero by values of integral polynomials // Acta Arith. 1989. Vol. 53, №. 1. P. 17-28.Bernik, V. I. 1989, “The exact order of approximating zero by values of integral polynomials“, Acta Arith., Vol. 53, №. 1. P. 17-28.Bernik, V. I., Dodson, M. M., Metric Diophantine Approximation on Manifolds // Cambridge University Press. 1999.Bernik, V. I., Dodson, M. M. 1999, “Metric Diophantine Approximation on Manifolds“, Cambridge University Press.Bernik, V. Budarina, N., Dickinson, H., A divergent Khintchine theorem in the real, complex and p-adic fields // Lith. Math. J. 2008. Vol. 48. № 2., P. 158-173.Bernik, V. Budarina, N. & Dickinson, H. 2008, “A divergent Khintchine theorem in the real, complex and p-adic fields“, Lith. Math. J., Vol. 48. № 2., P. 158-173.Bernik., V„ Budarina., N., Dickinson, H., Simultaneous Diophantine approximation in the real, complex and p-adic fields // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 2010. Vol. 149. № 2. P. 193-216.Bernik., V„ Budarina., N. & Dickinson, H.2010, “Simultaneous Diophantine approximation in the real, complex and p-adic fields“, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., Vol. 149. № 2. P. 193-216.Khintchine, A. Ya., Einige Satze uber Kcttenbriiche mit Anwvndungen auf die Theorie dear Diophan-tischen Approximationeii // Math. Ann. 1924. Vol. 92. P. 115-125.Khintchine, A. Ya. 1924, “Einige Satze uber Kcttenbriiche mit Anwvndungen auf die Theorie dear Diophan-tischen Approximationeii“, Math. Ann., Vol. 92. P. 115-125.Mahler, K., Uber das MaB der Menge aller S-Zahlen // Math. Ann. 1932. Vol. 106. P. 131-139.Mahler, K. 1932, “Uber das MaB der Menge aller S-Zahlen“, Math. Ann. Vol. 106. P. 131-139.Volkmann, B., Zur metrischen Theorie der S-Zahlen // J. reine und angew. Math. 1963. Vol. 213, № 1-2. P. 58-65.Volkmann, B. 1963, “Zur metrischen Theorie der S-Zahlen“, J. reine und angew. Math., Vol. 213, №. 1-2. P. 58-65.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.