chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-3-133-142cheb-1082Research ArticleСтатьиArticleОператоры Хаусдорфа на пространствах типа ХардиHausdorff operators on Hardy type spacesЛифляндИлья РафаиловичLiflyandElijah Rafailovich

факультет математики

department of mathematics

liflyand@math.biu.ac.ilСкопинаМария АлександровнаSkopinaMaria Alexandrovna

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences, 

skopina@ms1167.spb.eduУниверситет Бар-ИланИзраильBar-Ilan UniversityIsraelСанкт-Петербургский государственный университет, Региональный научно-образовательный математический центр Южного федерального университетаРоссияSt. Petersburg State University, Regional Mathematical Center of Southern Federal University.Russian Federation202111112021223133142Copyright © Лифлянд И.Р., Скопина М.А., 20212021Лифлянд И.Р., Скопина М.А.Liflyand E.R., Skopina M.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1082

Значительная часть теории операторов Хаусдорфа в последние 20 лет сосредоточена на оценках их ограниченности на пространстве Харди 𝐻1(R𝑑). Естественными расширениями этого пространства во многих отношениях являются пространства, введённые Суизи.Они заполняют всю шкалу между 𝐻1(R𝑑) и 𝐿10(R𝑑). В отличие от 𝐻1(R𝑑), для них известна только атомная характеризация. Для оценок операторов Хаусдорфа на 𝐻1(R𝑑) всегда применялись и другие характеризации. Поскольку эта возможность исключена для пространств Суизи, в настоящей статье разработан подход к оценкам операторов Хаусдорфа,использующий только атомные разложения. Если на 𝐻1(R𝑑) этот подход применим для однотипных атомов, то на пространствах Суизи он не менее эффективно работает на бесконечных суммах разнородных атомов. Для одного и того же оператора Хаусдорфа условие ограниченности не зависит от пространства, а только от параметров самого оператора.Пространство же, на котором оператор действует, характеризуется выбором атомов. Приведён пример (для простоты двумерный) с матрицей растяжения аргумента только по одной переменной.

During last 20 years, an essential part of the theory of Hausdorff operators is concentrated on their boundedness on the real Hardy space 𝐻1(R𝑑). The spaces introduced by Sweezy are,in many respects, natural extensions of this space. They are nested in full between 𝐻1(R𝑑) and 𝐿10 (R𝑑). Contrary to 𝐻1(R𝑑), they are subject only to atomic characterization. For the estimates of Hausdorff operators on 𝐻1(R𝑑), other characterizations have always been applied.Since this option is excluded in the case of Sweezy spaces, in this paper an approach to the estimates of Hausdorff operators is elaborated, where only atomic decompositions are used.While on 𝐻1(R𝑑) this approach is applicable to the atoms of the same type, on the Sweezy spaces the same approach is not less effective for the sums of atoms of various types. For asingle Hausdorff operator, the boundedness condition does not depend on the space but only on the parameters of the operator itself. The space on which this operator acts is characterizedby the choice of atoms. An example is given (two-dimensional, for simplicity), where a matrix dilates the argument only in one variable.

Оператор Хаусдорфадействительное пространство Хардиатомарное разложение.Hausdorff operatorreal Hardy spaceatomic decomposition.1Второй автор был поддержан Российским научным фондом в рамках гранта № 18-11-00055 (разделы 3 и 5 принадлежат этому автору).ReferencesW. Abu-Shammala and A. Torchinsky, 2208, "Spaces between 𝐻1 and 𝐿1" , Proc. Amer. Math. Soc., 136, 1743–1748.W. Abu-Shammala and A. Torchinsky, 2208, "Spaces between 𝐻1 and 𝐿1" , Proc. Amer. Math. Soc., 136, 1743–1748.K.F. Andersen, 2003, "Boundedness of Hausdorff operators on 𝐿𝑝(R𝑛),𝐻1(R𝑛), and 𝐵𝑀𝑂(R𝑛)" , Acta Sci. Math. (Szeged), 69, 409–418.K.F. Andersen, 2003, "Boundedness of Hausdorff operators on 𝐿𝑝(R𝑛),𝐻1(R𝑛), and 𝐵𝑀𝑂(R𝑛)" , Acta Sci. Math. (Szeged), 69, 409–418.G. Brown and F. M´oricz, 2002 "Multivariate Hausdorff operators on the spaces 𝐿𝑝(ℛ𝑛)" , J. Math. Anal. Appl., 271, 443–454.G. Brown and F. M´oricz, 2002 "Multivariate Hausdorff operators on the spaces 𝐿𝑝(ℛ𝑛)" , J. Math. Anal. Appl., 271, 443–454.J. Chen, D. Fan and J. Li, 2012, "Hausdorff operators on function spaces" , Chin. Ann. Math. Ser. B, 33, 537–556.J. Chen, D. Fan and J. Li, 2012, "Hausdorff operators on function spaces" , Chin. Ann. Math. Ser. B, 33, 537–556.J. Chen, D. Fan and S. Wang, 2014, "Hausdorff Operators on Euclidean Spaces" , Appl. Math. J. Chinese Univ. (Ser. B) (4) 28, 548–564.J. Chen, D. Fan and S. Wang, 2014, "Hausdorff Operators on Euclidean Spaces" , Appl. Math. J. Chinese Univ. (Ser. B) (4) 28, 548–564.J. Chen and X. Zhu, 2014, "Boundedness of multidimensional Hausdorff operators on 𝐻1(R𝑛)" , J. Math. Anal. Appl., 409, 428–434.J. Chen and X. Zhu, 2014, "Boundedness of multidimensional Hausdorff operators on 𝐻1(R𝑛)" , J. Math. Anal. Appl., 409, 428–434.R.R. Coifman and G. Weiss, 1977, "Extensions of Hardy spaces and their use in analysis" , Bull. Amer. Math. Soc., 83, 569–645.R.R. Coifman and G. Weiss, 1977, "Extensions of Hardy spaces and their use in analysis" , Bull. Amer. Math. Soc., 83, 569–645.I. M. Gelfand and S. V. Fomin, 1963, Calculus of variations, Prentice-Hall.I. M. Gelfand and S. V. Fomin, 1963, Calculus of variations, Prentice-Hall.C. Georgakis, 1992, "The Hausdorff mean of a Fourier-Stieltjes transform" , Proc. Am. Math. Soc. 116, 465–471.C. Georgakis, 1992, "The Hausdorff mean of a Fourier-Stieltjes transform" , Proc. Am. Math. Soc. 116, 465–471.G.H. Hardy, 1949 Divergent series, Clarendon Press, Oxford.G.H. Hardy, 1949 Divergent series, Clarendon Press, Oxford.R. A. Horn and Ch. R. Johnson, 1985, Matrix analysis, Cambridge Univ. Press, Cambridge.R. A. Horn and Ch. R. Johnson, 1985, Matrix analysis, Cambridge Univ. Press, Cambridge.A. Lerner and E. Liflyand, 2007, "Multidimensional Hausdorff operators on the real Hardy space" , J. Austr. Math. Soc., 83, 79–86.A. Lerner and E. Liflyand, 2007, "Multidimensional Hausdorff operators on the real Hardy space" , J. Austr. Math. Soc., 83, 79–86.E. Liflyand, 2008, "Boundedness of multidimensional Hausdorff operators on 𝐻1(R𝑛)" , Acta Sci. Math. (Szeged), 74, 845–851.E. Liflyand, 2008, "Boundedness of multidimensional Hausdorff operators on 𝐻1(R𝑛)" , Acta Sci. Math. (Szeged), 74, 845–851.E. Liflyand, 2013, "Hausdorff Operators on Hardy Spaces" , Eurasian Math. J., 4, no. 4, 101– 141.E. Liflyand, 2013, "Hausdorff Operators on Hardy Spaces" , Eurasian Math. J., 4, no. 4, 101– 141.E. Liflyand and F. M´oricz, 2000, "The Hausdorff operator is bounded on the real Hardy space 𝐻1(R)" , Proc. Am. Math. Soc., 128, 1391–1396.E. Liflyand and F. M´oricz, 2000, "The Hausdorff operator is bounded on the real Hardy space 𝐻1(R)" , Proc. Am. Math. Soc., 128, 1391–1396.E. Liflyand and F. M´oricz, 2001, "The multi-parameter Hausdorff operator is bounded on the product Hardy space 𝐻11(R × R)" , Analysis 21, 107–118.E. Liflyand and F. M´oricz, 2001, "The multi-parameter Hausdorff operator is bounded on the product Hardy space 𝐻11(R × R)" , Analysis 21, 107–118.F. M´oricz, 2005, "Multivariate Hausdorff operators on the spaces 𝐻1(R𝑛) and 𝐵𝑀𝑂(R𝑛)" , Analysis Math., 31, 31–41.F. M´oricz, 2005, "Multivariate Hausdorff operators on the spaces 𝐻1(R𝑛) and 𝐵𝑀𝑂(R𝑛)" , Analysis Math., 31, 31–41.E. M. Stein, 1970, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton Univ. Presss, Princeton, N. J.E. M. Stein, 1970, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton Univ. Presss, Princeton, N. J.C. Sweezy, 2004, "Subspaces of 𝐿1(R𝑑)" , Proc. Amer. Math. Soc., 132, 3599–3606.C. Sweezy, 2004, "Subspaces of 𝐿1(R𝑑)" , Proc. Amer. Math. Soc., 132, 3599–3606.F. Weisz, 2004, "The boundedness of the Hausdorff operator on multi-dimensional Hardy spaces" , Analysis, 24, 183–195.F. Weisz, 2004, "The boundedness of the Hausdorff operator on multi-dimensional Hardy spaces" , Analysis, 24, 183–195.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.