chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-3-100-121cheb-1077Research ArticleСтатьиArticleО трёхмерных сетках Смоляка IIAbout three-dimensional nets of Smolyak IIДобровольскийНиколай НиколаевичDobrovol’skiiNikolai Nikolaevich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

nikolai.dobrovolsky@gmail.comГорбачёвДмитрий ВикторовичGorbachevDmitry Viktorovich

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

dvgmail@mail.ruИвановВалерий ИвановичIvanovValerii Ivanovich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

ivaleryi@mail.ruТульский государственный университет, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. ТолстогоРоссияTula State University, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical UniversityRussian FederationТульский государственный университетРоссияTula State UniversityRussian Federation202111112021223100121Copyright © Добровольский Н.Н., Горбачёв Д.В., Иванов В.И., 20212021Добровольский Н.Н., Горбачёв Д.В., Иванов В.И.Dobrovol’skii N.N., Gorbachev D.V., Ivanov V.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1077

Это вторая статья из серии, посвящённой сеткам Смоляка. Работа относится к аналитической теории чисел и в ней рассматриваются вопросы приложения теории чисел кзадачам приближенного анализа.В настоящей работе было показано, что для произвольной сетки Смоляка тригонометрическая сумма сетки Смоляка 𝑆𝑞(⃗0) = 1. Отсюда следует, что норма линейногофункционала приближенного интегрирования на классе 𝐸𝛼𝑠 равна значению гиперболической дзета-функции 𝜁(𝛼|𝑆𝑚(𝑞, 𝑠)) сетки Смоляка. Показано, что гиперболическая дзета-функция 𝜁(𝛼|𝑆𝑚(𝑞, 𝑠)) сетки Смоляка является рядом Дирихле. Отсюда возникает вопрос об аналитическом продолжении гиперболической дзета-функции 𝜁(𝛼|𝑆𝑚(𝑞, 𝑠)) сетки Смо-ляка как функции произвольного комплексного 𝛼 = 𝜎 + 𝑖𝑡. Так как сетка Смоляка относится к числу рациональных сеток, то у неё, оказывается, существует аналитическоепродолжение гиперболической дзета-функции 𝜁(𝛼|𝑆𝑚(𝑞, 𝑠)) сетки Смоляка на всю комплексную плоскость, кроме точки 𝛼 = 1, в которой у неё полюс порядка 𝑠.Из работы следует, что остаются открытыми следующие вопросы:1. является ли нормальным линейный оператор 𝐴𝑞 взвешенных сеточных средних по сетке Смоляка при размерности 𝑠 > 3?2. каковы истинные значения тригонометрических сумм 𝑆𝑞(𝑚1, . . . ,𝑚𝑠) сетки Смоляка при размерности 𝑠 > 3?

This is the second article in a series dedicated to Smolyak grids. The paper relates to analytical number theory and it deals with the application of number theory to problems of approximate analysis.In this paper, it was shown that for an arbitrary Smolyak grid, the trigonometric sum of the Smolyak grid is 𝑆𝑞(⃗0) = 1. It follows that the norm of the linear functional of approximate integration on the class 𝐸𝛼 𝑠 is equal to the value of the hyperbolic zeta function 𝜁(𝛼|𝑆𝑚(𝑞, 𝑠)) of the resin grid. It is shown that the hyperbolic zeta function 𝜁(𝛼|𝑆𝑚(𝑞, 𝑠)) of the Smolyak gridis a Dirichlet series. This raises the question of the analytic continuation of the hyperbolic zeta function 𝜁(𝛼|𝑆𝑚(𝑞, 𝑠)) of the Smolyak grid as a function of an arbitrary complex 𝛼 = 𝜎 + 𝑖𝑡.Since the Smolyak grid belongs to the number of rational grids, it turns out that it has an analytical continuation of the hyperbolic zeta function 𝜁(𝛼|𝑆𝑚(𝑞, 𝑠)) of the Smolyak grid on the entire complex plane except for the point 𝛼 = 1, in which it has a pole of order 𝑠.It follows from the work that the following questions remain open:1. is the linear operator 𝐴𝑞 of weighted grid averages over the Smolyak grid at dimension 𝑠 > 3 normal?2. what are the true values of the trigonometric sums 𝑆𝑞(𝑚1, . . . ,𝑚𝑠) Smolyak grids with dimension 𝑠 > 3?

сетки Смолякаквадратурные формулы с сетками Смолякаинтерпо- ляционные формулы с сетками Смоляка.grid Smolyakquadrature formulas with grids of Smolyakinterpolation formula with grids of Smolyak.1Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №19-41-710005_р_а.ReferencesБахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. N 4. С. 3–18.Bakhvalov, N.S. 1959, “On approximate computation of multiple integrals” , Vestnik MoskovskogoВронская Г. Т., Добровольский Н. Н. Отклонения плоских сеток / Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2012. 193 с.universiteta, no. 4, pp. 3–18.Добровольская Л. П., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н.Vronskaya, G.T. & Dobrovol’skii, N. N. 2012, Otklonenie ploskikh setok [Standard deviation of a flat mesh], Izdatel’stvo TGPU im. L.N.Tolstogo, Tula, Russia.Многомерные теоретико-числовые сетки и решетки и алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов / Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2012. 284 с.Dobrovol’skaya, L. P., Dobrovol’skii, M. N., Dobrovol’skii, N. M. & Dobrovol’skii, N. N. 2012, Mnogomernye teoretiko-chislovye setki i reshyotki i algoritmy poiska optimal’nykhДобровольская Л. П., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н.koehffitsientov [Multidimensional number-theoretic grids and lattices and algorithms for finding optimal coefficients], Izdatel’stvo Tul’skogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta im. L.N. Tolstogo, Tula, Russia. 284 p.Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник 2012 Т. 13, вып. 4(44). С. 4–107.Dobrovol’skaya, L. P., Dobrovol’skii, M. N., Dobrovol’skii, N. M. & Dobrovol’skii, N. N. 2012, “The hyperbolic Zeta function of grids and lattices, and calculation of optimal coefficients” ,Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н., Огородничук Н. К., Ребров Е. Д., Реброва И. Ю. Некоторые вопросы теоретико-числового метода в приближенном анализе // Труды X международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" . Ученые записки Орловского государственного университета. 2012. № 6. Часть 2. С. 90–98.Chebyshevskij sbornik, vol. 13, no. 4(44), pp. 4–107.Добровольская Л. П., М. Н. Добровольский, Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н., Реброва И.Ю. Некоторые вопросы теоретико-числового метода в приближенном анализе // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика.Dobrovol’skaya, L. P., Dobrovol’skii, N. M., Dobrovol’skii, N. N., Ogorodnichuk, N. K., Rebrov, E. D. & Rebrova, I. YU. 2012, “Some questions of the number-theoretic methodИнформатика. 2013. Вып. 4, ч. 2. С. 47–52.in the approximate analysis” , Trudy X mezhdunarodnoj konferentsii “Аlgebra i teoriya chisel: sovremennye problemy i prilozheniya” Uchenye zapiski Orlovskogo gosudarstvennogoДобровольская Л. П., Добровольский Н. М., Симонов А. С. О погрешности приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник 2008 Т. 9, вып. 1(25). С. 185–223.universiteta [Proceedings of the X international conference "Algebra and number theory: modern problems and applications"scientific notes of Orel state University], no. 6, part 2, pp. 90-98.Добровольский М. Н. Оценки сумм по гиперболическому кресту // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9, вып. 1. С. 82–90.Dobrovol’skaya, L. P., Dobrovol’skii, M. N., Dobrovol’skii, N. M., Dobrovol’skii, N. N., & Rebrova, I. YU. 2013, “Some questions of the number-theoretic method in the approximateДобровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решёток / Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. № 6090–84.analysis” , Izvestie Saratovskogo universiteta. Novaya seriya. Seriya: Matematika. Mekhanika. Informatika, vol.13, no. 4(2), pp. 47-52.Добровольский Н. М. Оценки отклонений обобщенных параллелепипедальных сеток / Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, N 6089–84.Dobrovol’skaya, L. P., Dobrovol’skii, N. M. & Simonov, А.S. 2008, “On the error of approximate integration over modified grids” , Chebyshevskij sbornik, vol. 9, no. 1(25), pp. 185–223.Добровольский Н. М. О квадратурных формулах на классах 𝐸𝛼 𝑠 (𝑐) и 𝐻𝛼 𝑠 (𝑐) / Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. № 6091–84.Dobrovol’skii, M. N. 2003, “Estimates of sums over a hyperbolic cross” , Izvestie Tul’skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Matematika. Mekhanika. Informatika, vol.9, no. 1, pp. 82-90.Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, В. Н. Соболева, Д. К. Соболев, Л. П. Добровольская, О. Е. Бочарова. О гиперболической дзета-функции Гурвица, Чебышевский сб., 2016, том 17, вып. 3, С. 72—105.Dobrovol’skii, N. M. 1984, “The hyperbolic Zeta function of lattices” , Dep. v VINITI, no. 6090–84.Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, В. Н. Соболева, Д. К. Соболев, Е. И. Юшина Гиперболическая дзета-функция решётки квадратичного поля // Чебышевский сборник 2015. Т. 16, вып. 4(56). С. 100–149.Dobrovol’skii, N. M. 1984, “Evaluation of generalized variance parallelepipedal grids” , Dep. v VINITI, no. 6089–84.Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Яфаева Р. Р. О сетках С. А. Смоляка // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Всероссийской научной конференции. Тула: ТулГу, 2002. С. 18–20.Dobrovol’skii, N. M. 1984, “On quadrature formulas in classes 𝐸𝛼 𝑠 (𝑐) and 𝐻𝛼 𝑠 (𝑐)” , Dep. v VINITI, no. 6091–84Добровольский Н. М., Манохин Е. В. Банаховы пространства периодических функций // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Т. 4, вып. 3. Тула, 1998. C. 56–67.Dobrovol’skii, N. M., Dobrovol’skii, N. N., Sobolev, D.K., Soboleva, V.N., Dobrovol’skaya, L. P. & Bocharova, O. E. 2016, “On the hyperbolic Hurwitz Zeta function ”, ChebyshevskijДобровольский Н. М., Манохин Е. В., Реброва И. Ю., Рощеня А. Л. О непрерывности дзета-функции сетки с весами // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 7, вып. 1. Тула, 2001. С. 82–86.sbornik, vol. 17, no. 3, pp. 72–105.Добровольский Н. Н. О числе целых точек в гиперболическом кресте при значениях параметра 1 6 𝑡 < 21 // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9, вып. 1. С. 91–95.Dobrovol’skii, N. M., Dobrovol’skii, N. N., Soboleva, V.N., Sobolev, D.K. & Yushina, E.I. 2015, “Hyperbolic dzeta-function of lattices of quadratic fields”, Chebyshevskij sbornik, vol. 16, no.Добровольский Н. Н. Отклонение двумерных сеток Смоляка // Чебышевский сборник, 2007. Т. 8, вып. 1(21). С. 110–152., pp. 100–149.Добровольский Н. Н. О тригонометрическом полиноме сетки Смоляка // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики". Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. С. 36–36.Dobrovol’skii, N. M., Esayan, А.R. & Yafaeva, R. R. 2002, “On grids of Smolyak S. A.” , Sovremennye problemy matematiki, mekhaniki, informatiki: Tezisy dokladov Vserossijskoj nauchnoj konferentsii, Tula, Russia, pp. 18–20.Добровольский Н. Н. О гиперболическом параметре сетки // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 1. С. 6–18.Dobrovol’skii, N. M. & Manokhin, E.V. 1998, “Banach spaces of periodic functions” , Izvestiya TulGU. Seriya Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 4, no. 3, pp. 56–67.Добровольский Н. Н. Гиперболический параметр сеток с весами и его применение: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ имени М. В. Ломоносова, 2014.Dobrovol’skii, N. M., Manokhin, E.V., Rebrova, I. YU. & Roshhenya, А. L., 2001, "On the continuity of the Zeta function of a grid with weights" , Izvestiya TulGU. Seriya Matematika.Н. Н. Добровольский, Д. В. Горбачев, В. И. Иванов. О трёхмерных сетках Смоляка I // Чебышевcкий сборник. 2019. Т. 20, вып. 3, c. 193–219.Mekhanika. Informatika, vol. 7, no. 1., pp. 82–86.Киселёва О. В. О задаче Коробова для модифицированных сеток Смоляка // Чебышевский сборник, 2007. Т. 8, вып. 4(24). С. 50–104.Dobrovol’skii, N. N. 2003, “On the number of integer points in a hyperbolic cross at the values of 1 6 𝑡 < 21” , Izvestiya TulGU. Seriya Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 9, no. 1,Коробов Н. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел // ДАН СССР. 1957. № 6. С. 1062–1065.pp. 91–95.Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 19–25.Dobrovol’skii, N. N. 2007, “Deviation of two-dimensional Smolyak grids” , Chebyshevskij sbornik, vol. 8, no. 1(21), pp. 110–152.Коробов Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т. 124, № 6. С. 1207–1210.Dobrovol’skii, N. N. 2007, “A trigonometric polynomial on a grid of Smolyak”, Materialy mezhdunarodnoj nauchnoj konferentsii “Sovremennye problemy matematiki, mekhaniki, informatiki” [Proceedings of the international scientific conference “Modern problems of mathematics,Коробов Н. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов // ДАН СССР. 1960. Т. 132. № 5. С. 1009–1012.mechanics, computer science”], Tula, Russia, pp. 34–36.Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.Dobrovol’skii, N. N., 2013, "О гиперболическом параметре сетки" , Izvestiya TulGU. Seriya Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 2. P. 1. P. 6–18.Коробов Н. М. Квадратурные формулы с комбинированными сетками // Математические заметки. 1994. Т. 55, вып. 2. С. 83–90.Dobrovol’skii, N. N., 2014, Hyperbolic parameter of meshes with weights and its application, Ph.D. Thesis, Moscow State University, Moscow, Russia.Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе (второе издание). М.: МЦНМО, 2004.N. N. Dobrovol’skii, D. V. Gorbachev, V. I. Ivanov, 2019, "About three-dimensional nets of Smolyak II" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 3, pp. 193–219.Реброва И. Ю., Чубариков В. Н., Добровольский Н. Н., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М. О классических теоретико-числовых сетках // Чебышевcкий сборник.Kiseleva O. V., 2007, "On the Korobov problem for modified resin grids" , Chebyshevskij sbornik, vol. 8, no. 4(24), pp. 50–104.Т. 19, вып. 4, С. 118–176.Korobov, N. M., 1957, “Approximate evaluation of multiple integrals by using methods of the theory of numbers”, Doklady Аkademii nauk SSSR, vol. 115, no. 6, pp. 1062–1065.Смоляк С. А. Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях некоторых классов функций // ДАН СССР. 1963. Т. 148, № 5, С. 1042–1045.Korobov, N. M., 1959, “The evaluation of multiple integrals by method of optimal coefficients”, Vestnik Moskovskogo universiteta, no. 4, pp. 19–25.Соболь И. М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.: Наука, 1969.Korobov, N. M., 1959, “On approximate computation of multiple integrals”, Doklady Аkademii nauk SSSR, vol. 124, no. 6, pp. 1207–1210.Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана. — М.: И-Л, 1952. — 407 с.Korobov, N. M., 1960, “Properties and calculation of optimal coefficients”, Doklady Аkademii nauk SSSR, vol. 132, no. 5, pp. 1009–1012.Фролов К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 1976. Т. 231. № 4. С. 818–821.Korobov, N. M., 1963, Teoretiko-chislovye metody v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], Fizmat-giz, Moscow, Russia.Фролов К. К. Квадратурные формулы на классах функций: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР, 1979.Korobov, N.M. 1994, “Quadrature formulas with combined grids”, Matematicheskie zametki, vol. 55, no. 2, pp. 83–90.Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел / М.: Изд-во "МИР" 1974.Korobov, N.M. 2004, Teoretiko-chislovye metody v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], 2nd ed, MTSNMO, Moscow, Russia.Dobrovolskaya, L. P., Dobrovolsky, M. N., Dobrovol’skii, N. M., Dobrovolsky, N. N. On Hyperbolic Zeta Function of Lattices. In: Continuous and Distributed Systems. SolidI. Yu. Rebrova, V. N. Chubarikov, N. N. Dobrovol’skii, M. N. Dobrovol’skii, N. M. Dobrovol’skii, 2018, "On classical number-theoretic nets" , Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 3, pp. 118–176.Mechanics and Its Applications. V. 211. 2014. P. 23–62.Smolyak, S. А., 1963, “Quadrature and interpolation formulas on tensor products of some classes of functions”, Doklady Аkademii nauk SSSR, vol. 148, no. 5, pp. 1042–1045.http://dx.doi.org/10.1007/978-3-319-03146-0_2Sobol’, I. M., 1969, Mnogomernye kvadraturnye formuly i funktsii Khaara [Multidimensional quadrature formulas and Haar functions], Nauka, Moscow, USSR.Faure H. Discrepance de suites associees a un systeme denumeration (en dimention s) // Acta Arith. 41. 1982. P. 337–351.Titchmarsh E. K. 1952, “The Theory of the Riemann Zeta Function”, M.: IL, 407 p.Halton J. H. On the efficiency of certain quasirandom sequences of points in evaluating multidimensional integrals. // Numerische Math. 27. № 2 (1960), 84–90, Bd 2 № 2.Frolov, K. K., 1976, “Upper bounds on the error of quadrature formulas on classes of functions”, Doklady Аkademii nauk SSSR, vol. 231, no.4, pp. 818–821.Hammersley J. M. Monte-Carlo methods for sobving multivariable problems // Proc. N 4. Acad. Sci. 1960.Frolov, K. K., 1979, Quadrature formulas on classes of functions, Ph.D. Thesis, Vychislitel’nyj tsentr Аkademii Nauk SSSR, Moscow, USSR.Weyl H. ¨Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. // Math. Ann. 1916. Bd. 77. S. 313– 352 (пер. в кн.: Вейль Г. Математика. Теоретическая физика. М.: Наука, 1984).Chandrasekharan K., 1974, Vvedenie v analiticheskuju teoriju chisel, Izd-vo Mir, Moskva, 188 p.Dobrovol’skaya, L. P., Dobrovol’skii, M. N., Dobrovol’skii, N. M. & Dobrovol’skii, N. N., 2014, “On Hyperbolic Zeta Function of Lattices”, Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications, vol. 211, pp. 23–62.Dobrovol’skaya, L. P., Dobrovol’skii, M. N., Dobrovol’skii, N. M. & Dobrovol’skii, N. N., 2014, “On Hyperbolic Zeta Function of Lattices”, Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications, vol. 211, pp. 23–62.http://dx.doi.org/10.1007/978-3-319-03146-0_2http://dx.doi.org/10.1007/978-3-319-03146-0_2Faure, H., 1982, “Discrepance de suites associees a un systeme denumeration (en dimention s)”, Acta Arith, vol. 41, pp. 337–351.Faure, H., 1982, “Discrepance de suites associees a un systeme denumeration (en dimention s)”, Acta Arith, vol. 41, pp. 337–351.Halton, J. H., 1960, “On the efficiency of certain quasirandom sequences of points in evaluatingHalton, J. H., 1960, “On the efficiency of certain quasirandom sequences of points in evaluatingmultidimensional integrals”, Numerische Math, vol. 27, no. 2, pp. 84–90.multidimensional integrals”, Numerische Math, vol. 27, no. 2, pp. 84–90.Hammersley, J. M., 1960, “Monte-Carlo methods for sobving multivariable problems”, Ann. New York Acad. Sci., vol. 86, 844–874.Hammersley, J. M., 1960, “Monte-Carlo methods for sobving multivariable problems”, Ann. New York Acad. Sci., vol. 86, 844–874.Weyl H., 1916, “On the uniform distribution of Numbers mod. one”, Math. Ann., vol. 77, pp. 313–352.Weyl H., 1916, “On the uniform distribution of Numbers mod. one”, Math. Ann., vol. 77, pp. 313–352.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.