В теории бигамильтоновых систем известна обобщенная гипотеза Мищенко–Фоменко. В гипотезе говорится о существовании полных наборов полиномиальных функций в инволюции относительно пары естественно возникающих пуассоновых структур на двойственных пространствах к алгебрам Ли. Данная гипотеза тесно связана с методом сдвига аргумента, предложенным А. С. Мищенко и А.Т. Фоменко в [10]. В исследованиях, посвященных данной гипотезе, была обнаружена связь существования полного набора в биинволюции с алгебраическим типом пучка согласованных скобок Пуассона, заданного линейной и постоянной скобкой. Числа, описывающие алгебраический тип пучка скобок общего положения на двойственном пространстве к алгебре Ли, называются инвариантами Жордана–Кронекера алгебры Ли. Понятие инвариантов Жордана–Кронекера было введено А. В. Болсиновыми P. Zhang в [2]. Для некоторых классов алгебр Ли (например, полупростых алгебр Ли и алгебр Ли малой размерности) инварианты Жордана–Кронекера удалось вычислить, нов общем случае вопрос вычисления инвариантов Жордана–Кронекера для произвольной алгебры Ли является открытым. Задача вычисления инвариантов Жордана–Кронекерачасто упоминается среди наиболее интересных нерешенных задач теории интегрируемых систем [4, 5, 6, 11].В статье вычислены инварианты Жордана–Кронекера для серии 𝐵𝑠𝑝(2𝑛) и на каждой алгебре серии построены полные наборы полиномов в биинволюции. Также вычисленыинварианты Жордана–Кронекера для борелевских подалгебр 𝐵𝑠𝑜(𝑛) для любых 𝑛. Таким образом, вместе с результатами, полученными в [2] для 𝐵𝑠𝑙(𝑛), данная статья составляет решение задачи вычисления инвариантов Жордана–Кронекера борелевских подалгебр классических алгебр Ли.
In the theory of bi-Hamiltonian systems, the generalized Mischenko–Fomenko conjecture is known. The conjecture states that there exists a complete set of polynomial functions ininvolution with respect to a pair of naturally defined Poisson structures on a dual space of a Lie algebra. This conjecture is closely related to the argument shift method proposed byA. S. Mishchenko and A. T. Fomenko in [10]. In research works devoted to this conjecture, a connection was found between the existence of a complete set in bi-involution and the algebraictype of the pencil of compatible Poisson brackets, defined by a linear and constant bracket. The numbers that describe the algebraic type of the generic pencil of brackets on the dual spaceto a Lie algebra are called the Jordan–Kronecker invariants of a Lie algebra. The notion of Jordan–Kronecker invariants was introduced by A. V. Bolsinov and P. Zhang in [2]. For someclasses of Lie algebras (for example, semisimple Lie algebras and Lie algebras of low dimension), the Jordan–Kronecker invariants have been computed, but in the general case the problem ofcomputation of the Jordan–Kronecker invariants for an arbitrary Lie algebra remains open. The problem of computation of the Jordan–Kronecker invariants is frequently mentioned among themost interesting unsolved problems in the theory of integrable systems [4, 5, 6, 11]. In this paper, we compute the Jordan–Kronecker invariants for the series 𝐵𝑠𝑝(2𝑛) and construct complete sets of polynomials in bi-involution for each algebra of the series. Also, we calculate the Jordan–Kronecker invariants for the Borel subalgebras 𝐵𝑠𝑜(𝑛) for any 𝑛. Thus, together with the results obtained in [2] for 𝐵𝑠𝑙(𝑛), this paper presents a solution to the problem of computation of Jordan–Kronecker invariants for Borel subalgebras of classical Lie algebras.