chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-2-528-535cheb-1019Research ArticleКраткие сообщенияОб одном применении методов исследования алгебраической независимости гипергеометрических рядов и значений 𝑔-адических функцийOne application on hypergeometic series and values of 𝑔-adic functions algebraic independence investigation methodsСамсоновАлексей СергеевичSamsonovAleksei Sergeevich

аспирант

graduate student

dontsmoke@inbox.ruМосковский педагогический государственный университетРоссияMoscow State Pedagogical UniversityRussian Federation202102062021222528535Copyright © Самсонов А.С., 20212021Самсонов А.С.Samsonov A.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1019

В статье рассматриваются вопросы трансцендентности и алгебраической независимости, формулируется и доказываются теорема для некоторых элементов прямых произведений 𝑝-адических полей. Пусть Q𝑝 — пополнение Q по 𝑝-адической норме, поле Ω𝑝 — пополнение алгебраического замыкания Q𝑝, 𝑔 = 𝑝1𝑝2 . . . 𝑝𝑛 — произведение различных простых чисел, а пополнение Q по 𝑔-адической псевдонорме это кольцо Q𝑔, иными словамиQ𝑝1 ⊕ . . . ⊕ Q𝑝𝑛. Рассматривается кольцо Ω𝑔∼=Ω𝑝1 ⊕ . . . ⊕ Ω𝑝𝑛, содержащее Q𝑔 в качестве подкольца. Также, рассматриваются гипергеометрические ряды вида

$$𝑓(𝑧) =∞Σ︁𝑗=0((𝛾1)𝑗 . . . (𝛾𝑟)𝑗)/((𝛽1)𝑗 . . . (𝛽𝑠)𝑗)(𝑧𝑡)^𝑡𝑗 $$,

и их формальные производные. Получены достаточные условия, при которых значения ряда 𝑓(𝛼) и формальных производных удовлетворяют глобальному соотношению алгебраической независимости, если 𝛼 =∞Σ︀𝑘=1 𝑎𝑘𝑔^𝑟_𝑘 , где 𝑎𝑘 ∈ Z𝑔, а неотрицательные рациональные числа 𝑟_𝑘 образуют возрастающую и стремящуюся к +∞ при 𝑗 → +∞ последовательность.

The article takes a look at transcendence and algebraic independence problems, introduces statements and proofs of theorems for some kinds of elements from direct product of 𝑝-adic fields and polynomial estimation theorem. Let Q𝑝 be the 𝑝-adic completion of Q, Ω𝑝 be the completion of the algebraic closure of Q𝑝, 𝑔 = 𝑝1𝑝2 . . . 𝑝𝑛 be a composition of separate prime numbers, Q𝑔 be the 𝑔-adic completion of Q, in other words Q𝑝1 ⊕. . .⊕Q𝑝𝑛. The ring Ω𝑔 ∼=Ω𝑝1⊕...⊕Ω𝑝𝑛, asubring Q𝑔, transcendence and algebraic independence over Q𝑔 are under consideration. Also, hypergeometric series

$$𝑓(𝑧) =∞Σ︁𝑗=0((𝛾1)𝑗 . . . (𝛾𝑟)𝑗)/((𝛽1)𝑗 . . . (𝛽𝑠)𝑗)(𝑧𝑡)^𝑡𝑗 $$,

and their formal derivatives are under consideration. Sufficient conditions are obtained under which the values of the series 𝑓(𝛼) and formal derivatives satisfy global relation of algebraicindependence, if 𝛼 =∞Σ︀𝑗=0 𝑎_𝑗𝑔^(𝑟_𝑗), where 𝑎𝑗 ∈ Z𝑔, and non-negative rationals 𝑟𝑗 increase strictly unbounded.

𝑝-адические числа𝑔-адические числа𝑓-рядытрансцендентностьалгебраическая независимость𝑝-adic numbers𝑔-adic numbers𝑓-seriestranscendencealgebraic independence.ReferencesAdams W. Transcendental numbers in the 𝑝-adic domain // Amer. J. Math., 1966, V. 88, P. 279–307.Adams W. 1966, “Transcendental numbers in the 𝑝-adic domain”, Amer. J. Math., vol. 88, pp. 279–307.Amice Y. Les nombers 𝑝-adiques. Presses Universitaires de France, Paris, 1975.Amice Y. 1975, Les nombers 𝑝-adiques. Presses Universitaires de France, Paris.Bertrand D., Chirskii V. G., Yebbou J. Effective estimates for global relations on Euler-type series // Ann. Fac. Sci. Toulouse, 2004, V. XIII, №2, P. 241–260.Bertrand D., Chirskii V. G., Yebbou J. 2004, “Effective estimates for global relations on Eulertype series”, Ann. Fac. Sci. Toulouse, vol. XIII, no. 2, pp. 241–260.Боревич З. И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. 3-е изд. доп. М.: Наука, 1985.Borevich Z. I., Shafarevich I. R. 1985, Teoriya Chisel, [The theory of numbers], third edition. “Nauka”, Moscow.Bundschuh P., Chirskii V.G. On the algebraic independence of elements from C𝑝 over Q𝑝, I // Arch. Math., 2002, V. 79, P. 345–352.Bundschuh P., Chirskii V. G. 2002, “On the algebraic independence of elements from C𝑝 over Q𝑝, I”, Arch. Math., vol. 79, pp. 345–352.Bundschuh P., Chirskii V. G. On the algebraic independence of elements from C𝑝 over Q𝑝, II // ActaArithm., 2004, V. 113, №4, P. 309–326.Bundschuh P., Chirskii V. G. 2004, “On the algebraic independence of elements from C𝑝 over Q𝑝, II”, ActaArithm., vol. 113, no. 4, pp. 309–326.Bundschuh P., Chirskii V. G. Estimating polynomials over Z𝑝 at points from C𝑝 // Moscow Journ. of Comb. and Number Th., 2015, V. 5, iss. 1-2, P. 14–20.Bundschuh P., Chirskii V. G. 2015, “Estimating polynomials over Z𝑝 at points from C𝑝”, Moscow Journ. of Comb. and Number Th., vol. 5, iss. 1–2, pp. 14–20.Чирский В. Г. Метод Зигеля-Шидловского в р-адической области. // Фундаментальная и прикладная математика. 2005, Т. 11, №6, С. 221–230.Chirskii V. G. 2005, “Siegel—Shidlovskii method in 𝑝-adic domain”, Fundamental and Applied Mathematics, vol. 11, no. 6, pp. 221–230.Chirskii V. G. Values of Analytic functions at points of C𝑝 // Russian Journ. of Math. Physics, 2013, V. 20, №2, P. 149–154.Chirskii V. G. 2013, “Values of Analytic functions at points of C𝑝”, Russian Journ. of Math. Physics, vol. 20, no. 2, pp. 149–154.Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Доклады академии наук, 2014, Т. 459, №6, С. 677–679.Chirskii V. G. 2014, “Arithmetic properties of poliadic series with periodic coefficients”, Dokladi akademii nauk, vol. 459, no. 6, pp. 677–679.Чирский В. Г. Об арифметических свойствах обобщённых гипергеометрических рядов с иррациональными параметрами // Изв. РАН. Сер. мат., 2014, Т. 78, №6, С. 193—210.Chirskii V. G. 2014, “Arithmetic properties of hypergeometric series with irrational parameters”, Izv. RAN. Ser. mat., vol. 78, no. 6, pp. 193—210.Чирский В. Г. Об арифметических свойствах ряда Эйлера // Вестник Моск. ун-та, Сер.1, мат., мех., 2015, №1, С. 59–61.Chirskii V. G. 2015, “On the arithmetic properties of Euler-type series”, Vestnik Mosk. Univ. Ser.1, mat., mech., no. 1, pp. 59–61.Чирский В. Г. Арифметические свойства целых полиадических чисел // Чебышёвский сборник, 2015, Т. 16, вып. 1, С. 254–264.Chirskii V. G. 2015, “Arithmetic properties of polyadic integer numbers”, Chebyshevskii sbornik, vol. 16, no. 1, pp. 254–264.Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Изв. РАН. Сер. мат., 2017, Т. 81, №2, С. 215—232.Chirskii V. G. 2017, “Arithmetic properties of polyadic series with periodic coefficients”, Izv. RAN. Ser. mat. vol. 81, no. 2, pp. 215–232.Chirskii V. G. Topical problems of the theory of transcendental numbers: Developments of approaches to tyeir solutions in the works of Yu.V. Nesterenko // Russian Journ. of Math. Physics, 2017, V. 24, №2, P. 153–171.Chirskii V. G. 2017, “Topical problems of the theory of Transcendental numbers: Developments of approaches to tyeir solutions in the works of Yu.V. Nesterenko”, Russian Journ. of Math. Physics, vol. 24, no. 2, pp. 153–171.Чирский В. Г. Арифметические свойства обобщённых гипергеометрических f-рядов // Доклады академии наук, 2018, Т. 483, №3, С. 257—259.Chirskii V. G. 2018, “Arithmetic properties of generalized hypergeometric f-series”, Dokladi akademii nauk, vol. 483, no. 3, pp. 257–259.Chirskii V. G. Arithmetic properties of generalized hypergeometric f-series // Doklady Mathematics, 2018, V. 98, №3, P. 589-–591.Chirskii V. G. 2018, “Arithmetic properties of generalized hypergeometric f-series”, Dokladi Mathematics, vol. 98, no. 3, pp. 589–591.Chirskii V. G. Product formula, global relations and polyadic integers // Russian Journ. of Math. Physics, 2019, V. 26, №3, P. 286–305.Chirskii V. G. 2019, “Product formula, global relations and polyadic integers”, Russian Journ. of Math. Physics, vol. 26, no. 3, pp. 286–305.Chirskii V. G. Arithmetic properties of generalized hypergeometric series // Russian Journ. of Math. Physics, 2020, V. 27, №2, P. 175–184.Chirskii V. G. 2020, “Arithmetic properties of generalized hypergeometric series”, Russian Journ. of Math. Physics, vol. 27, no. 2, pp. 175–184.Коблиц Н. 𝑝-адические числа, 𝑝-адический анализ и дзета-функции; пер. с англ. В. В. Шокурова, под ред. Ю.И. Манина. М.: Мир, 1982.Koblitz N. 1982, 𝑝-adic numbers, 𝑝-adic analysis, and zeta-functions, 2nd ed.Mahler K. Uber transzendente 𝑝-adische Zahlen // Compos. Math. 1935, V. 2, P. 259–275.Mahler K. 1935, “Uber transzendente 𝑝-adische Zahlen”, Compos. Math., vol. 2, pp. 259–275.Mahler K. 𝑝-adic numbers and their functions; second edition. Cambridge: Cambridge University Press, 1981.Mahler K. 1981, 𝑝-adic numbers and their functions, second edition, Cambridge University Press, Cambridge.Шидловский А. Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987.Shidlovskii A. B. 1987, Transcendentnie chisla, [Transcendental numbers], “Nauka”, Moscow.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.