chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-2-519-527cheb-1018Research ArticleКраткие сообщенияАрифметические свойства значений некоторых гипергеометрических 𝐹-рядовArithmetic properties of the values some hypergeometric 𝐹-seriesМуньосВаскес Анхель ХорхеевичMunosVaskes Ankhel Khorkheevich

аспирант

graduate student

m.v.ankhel@yandex.ruМосковский педагогический государственный университетРоссияMoscow State Pedagogical UniversityRussian Federation202102062021222519527Copyright © Муньос В.А., 20212021Муньос В.А.Munos V.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1018

Обобщённые гипергеометрические ряды имеют вид

$$𝑓(𝑧) =∞Σ︁𝑛=0((𝑎1)𝑛 . . . (𝑎𝑙)𝑛)/((𝑏1)𝑛 . . . (𝑏𝑚)𝑛)𝑧𝑛$$

При 𝑙 < 𝑚 и рациональных значениях параметров они сводятся к 𝐸-функциям Зигеля.При 𝑙 = 𝑚 и рациональных параметрах это 𝐺-функции. При 𝑙 > 𝑚 и рациональных параметрах они являются 𝐹-рядами.Исследование арифметических свойств значений обобщённых гипергеометрических рядов – актуальная задача имеющая большую историю. Достаточно упомянуть Зигеля К. Л., Шидловского А. Б., Салихова В. Х., Beukers F., Brownawell W. D., Heckman G., Галочкина А. И., Олейникова В. А., Иванкова П. Л., Горелова В. А., Чирского В. Г., Зудилина В. В.,Matala–Aho T. и др.В работе рассмотренны 𝐹-ряды для значений которых в работе Чирского В. Г. доказана бесконечная алгебраическая независимость.В этой работе получены оценки снизу многочленов от значений этих рядов и их производных в конкретном 𝑝-адическом поле.

Generalized hypergeometric series are of the form

$$𝑓(𝑧) =∞Σ︁𝑛=0((𝑎1)𝑛 . . . (𝑎𝑙)𝑛)/((𝑏1)𝑛 . . . (𝑏𝑚)𝑛)𝑧𝑛$$

If 𝑙 < 𝑚 and if the parameters are rational, they are closely related to Siegel’s 𝐸-functions. If 𝑙 = 𝑚 and if the parameters are rational, they are 𝐺-functions. For 𝑙 > 𝑚 and if the parametersare rational, they are 𝐹-series.The arithmetic properties values of generalized hypergeometric series is an actual problem with a long history. We shall only mention Siegel C. L., Shidlovskii A. B., Salikhov V. Kh.,Beukers F., Brownawell W. D., Heckman G., Galochkin A. I., Oleinikov V. A., Ivankov P. L., Gorelov V. A., Chirskii V. G., Zudilin W., Matala–Aho T. etc. We consider the so–called 𝐹-series. Chirskii V.G. proved the infinitу algebraic independenceof the corresponding values.Here we obtain lower estimates of polynomials and linear forms in the values of these series and their derivatives in a concrete 𝑝-adic field.

𝐹-рядыоценки линейных форм и многочленов𝑝-адические числа𝐹-seriesestimates linear forms and polynomials𝑝-adic numbers.ReferencesГалочкин А. И. О неулучшаемых по высоте оценках некоторых линейных форм // Мат.сб.1984.т.124(166),№3(7). с.416–430.Andr´e, Y. “S´eries Gevrey de type arithm´etique“, Inst. Math., Jussieu.Галочкин А. И. Оценки снизу многочленов от значений аналитических функций одного класса // Мат. сб., Т. 95(137), №3(11), 1974, С. 396–417.Bertrand, D., Chirskii, V. G. & Yebbou, Y. 2004. “Effective estimates for global relations on Euler – type series“, Ann. Fac. Sci. Toulouse, Vol. XIII, №2. pp. 241–260.Муньос Васкес А. Х. Оценки снизу многочленов и линейных форм от значений 𝐹 – рядов // Чебышевcкий сборник, 2020, т. 21, вып. 3.Bombieri, E. 1981, “On 𝐺-functions“, Recent Progress in Analytic Number Theory. Vol.2. London: Academic Press, pp. 1–68.Нестеренко Ю.В. Об алгебраической независимости значений 𝐸 – функций, удовлетворяющих линейным неоднородным дифференциальным уравнениям // Матем. заметки, 5:5 (1969), 587–598; Math. Notes, 5:5 (1969), 352–358.Chirskii, V. G. 2020, “Arithmetic properties of Generalized Hypergeometric Series“, Russian Journal of Mathematical Physics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), Vol 27, №2, pp. 175–184.Олейников В. А. О трансцендентности и алгебраической независимости значений некоторых целых функций // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1968. – Т. 32, №1. – С. 63–92.Chirskii, V. G. 2019, “Product formula, global relations and polyadic integers“, Russian Journal of Mathematical Physics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), Vol. 26, №3, pp. 286–305.Салихов В. Х. Критерий алгебраической независимости значений одного класса гипергеометрических 𝐸 – функций // Мат.сб. 1990. т.181, №2. с.189–211.Chirskii, V. G. 2018, “Arithmetic properties of generalized hypergeometric F-series“, Doklady Mathematics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation). Vol. 98, №3. pp.589–591.Салихов В. Х. Неприводимость гипергеометрических уравнений и алгебраическая независмость значений 𝐸 – функций // Acta Arith. –1990. т. 53. с.453–471.Chirskii, V. G. 2017, “Arithmetic properties of polyadic series with periodic coefficients“, Izvestiya Mathematics, American Mathematical Society (United States), Vol. 81,№2. pp. 444–Салихов В. Х. Об алгебраической независимости значений гипергеометрических 𝐸 – функций // ДАН СССР. 1989. т.307, №2. с.284–287.Салихов В. Х. Об алгебраической независимости значений гипергеометрических 𝐸 – функций // ДАН СССР. 1989. т.307, №2. с.284–287.Салихов В. Х. Формальные решения линейных дифференциальных уравнений и их применение в теории трансцендентных чисел // Тр. Моск. мат. о-ва. 1988. т.51. с.223–256.Chirskii, V. G. 2015, “Arithmetic properties of Euler series“, Moscow University Mathematics Bulletin, Allerton Press Inc.(United States), Vol. 70, №1, pp.41–43.Чирский В. Г. Арифметические свойства обобщённых гипергеометрических 𝐹 – рядов // Доклады Академии наук. Наука (М.). 2018. т. 483, №3, с.257–259.Chirskii, V. G. 2015, “Arithmetic properties of polyadic integers”, Chebyshevskii Sb., 16:1, pp.254–264.Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Доклады Академии наук, математика. Наука (М). 2014. т. 439, №6. с. 677–679.Chirskii, V. G. 2014, “Arithmetic properties of polyadic series with periodic coefficients“, Doklady Mathematics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), Vol. 90, №3, pp. 766–768.Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Известия РАН. Серия математическая. 2017. т. 81, выпуск 2. с. 215–232.Chirskii, V. G. 2014, “On the arithmetic properties of generalized hypergeometric series with irrational parameters“, Izvestiya Mathematics, American Mathematical Society (United States). Vol. 78, №6. pp. 1244–1260.Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических чисел // Чебышевский сборник. 2015. т. 16, №1. с. 254–264.Chirskii, V. G. 1999, “Linear independence of the 𝑝 – adic values of certain 𝑞 – basic hypergeometric series“, Fundam. Prikl. Mat., 5:2 , pp.619–625.Чирский В. Г. Линейная независимость 𝑝 – адических значений некоторых 𝑞 – базисных гипергеометрических рядов // Фунд. и прикл. матем. 1999. т. 5, №2. с. 619–625.Chirskii, V. G. 1990, “Global relations“, Mat. Zametki, 48:2, 123–127; Math. Notes, 48:2 (1990), pp.795–798.Чирский В. Г. О глобальных соотношениях // Мат. заметки. 1990. т. 48, №2. с.123–127.Galochkin,A. I. 1984, “On estimates, unimprovable with respect to height, of some linear forms“, Mat. Sb. (N.S.), 124(166):3(7), 416–430; Math. USSR-Sb., 52:2 (1985), 407–421Чирский В. Г. Об арифметических свойствах обобщённых гипергеометрических рядов с иррациональными параметрами // Известия РАН. Серия математическая. 2014. т. 78, №6. с. 193–210.Galochkin, A. I. 1974, “Estimates from below of polynomials in the values of analytic functions of a certain class“, Mat. Sb. (N.S.), 95(137):3(11), 396–417; Math. USSR-Sb., 24:3 (1974), 385–407Чирский В. Г. Об арифметических свойствах ряда Эйлера // Вестник Московского Университета. Серия 1: Матемаика. Механика. Изд–во Моск. университета (М). 2015. №1. с. 59–61.Matala–Aho T. & Zudilin W. 2018, “Euler factorial series and global relations“, J. Number Theory, 186, pp.202–210.Шидловский А. Б. Трансцендентные числа // М. Наука. 1987.Munos Vaskes, A. Kh. 2020, “Lower estimates of polynomials and linear forms in the values of 𝐹 – series“, Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 3Andr´e Y. S´eries Gevrey de type arithm´etique. // Inst. Math., Jussieu.Nesterenko Yu. V. 1969, “On the Algebraic Independence of the Values of E-Functions Satisfying Nonhomogeneous Linear Differential Equations“ Mat. Zametki 5 (5), 587–599 [Math. Notes 5 (5), 352–358 (1969)].Bertrand D., Chirskii V. G., Yebbou Y. Effective estimates for global relations on Euler-type series // Ann. Fac. Sci. Toulouse. 2004. Vol. XIII, №2. pp. 241–260.Oleinikov, V. A. 1968, “On the transcendence and algebraic independence of the values of certain entire functions“, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 32:1, 63–92; Math. USSR-Izv., 2:1 (1968), 61–87Bombieri E. On 𝐺-functions. // Recent Progress in Analytic Number Theory. V.2. London: Academic Press, 1981. – P. 1–68.Salikhov, V. Kh. 1990, “A criterion for the algebraic independence of values of a class of hypergeometric 𝐸 – functions“, Mat. Sb., 181:2, 189–211; Math. USSR-Sb., 69:1 (1991), 203–226Chirskii V. G. Arithmetic properties of Generalized Hypergeometric 𝐹 – Series // Russian Journal of Mathematical Physics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation). 2020. Vol. 27, №2, pp. 175–184.Salikhov V. Kh. 1990, “Irreducibility of hypergeometric equations and algebraic independence of values of 𝐸 – functions“, Acta Arith., Vol. 53. p. 453–471.Chirskii V. G. Product formula, global relations and polyadic numbers // Russian Journal of Mathematical Physics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation). 2019. Vol. 26, №3, pp. 286–305.Salikhov, V. Kh. 1989, “Algebraic independence of values of hypergeometric 𝐸 – functions“, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 307:2, 284–287; Dokl. Math., 40:1 (1990), 71–74Matala–Aho T., Zudilin W. Euler factorial series and global relations. // J. Number Theory. 2018. 186, pp.202–210.Salikhov, V. Kh. 1988, “Formal solutions of linear differential equations and their application in the theory of transcendental numbers“, Tr. Mosk. Mat. Obs., 51, MSU, M., 223–256Shidlovskii, A. B. 1989, “Transcendental numbers“ [Transtsendentnye chisla] / Andrei Borisovich Shidlovskii; translated from the Russian by Neal Koblitz.Shidlovskii, A. B. 1989, “Transcendental numbers“ [Transtsendentnye chisla] / Andrei Borisovich Shidlovskii; translated from the Russian by Neal Koblitz.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.