кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
В теории диофантовых приближений рассматриваются вопросы приближения действительных чисел рацональными дробями с одинаковыми знаменателями. Среди интенсивноизучаемых вопросов этой теории особое место занимают метрические аспекты. Здесь рассматриваются такие вопросы теории приближений, которые имеют место для почти всехдействительных чисел из заданного промежутка. Впервые подобные вопросы были изучены Хинчином для приближений независимых величин. Им были поучены условия, при которых для почти всех действительных чисел достигается указанная точность приближения рациональными дробями. Очень важный в техническом плане принцип переноса Хинчина позволяет связать совместные приближения зависимых величин с приближени-ями целочисленных форм.В 1932 г. Малер К. ввел в рассмотрение классификацию трансцендентных чисел. Он показал, что почти все трансцендентные числа являются 𝑆-числами. Более того, Малер доказал существование такой постоянной 𝛾 > 0 , что для почти всех 𝜔
$$|𝑃(𝜔)| > ℎ^(−𝑛𝛾)$$,
каков бы ни был целочисленный многочлен 𝑃 степени не более 𝑛 и высоты ℎ > ℎ0(𝜔, 𝑛, 𝛾).По Малеру можно взять
$$𝛾 = 4 + 𝜀.$$
В этой же работе Малер высказал предположение, что можно взять 𝛾 = 1 + 𝜀 для почти всех вещественных чисел.Эту гипотезу доказал Спринджук В. Г. методом существенных и несущественных областей. Одновременно Спринджук В. Г. выдвинул несколько гипотез, обобщающие и уточняющие результаты Малера. В дальнейшем исследования Спринджука привели к развитию нового направления в теории диофантовых приближений–исследованию экстремальностимногообразий.В настоящей статье мы развиваем новый подход к этим вопросам и предлагаем новое доказательство экстремальности алгебраических многообразий. Предлагаемый метод позволяет установить экстремальность аффинного образа топологических произведенийнекоторых многообразий. На одном примере мы доказываем, что экстремальность таких многообразий можно вывести из теорем о показателе сходимости особого интеграла проблемы Терри, используя лемму Ковалевской Э. И. Далее из полученного результата мы выведем частный случай гипотезы Спринджука об экстемальности многообразия, поржденного одночленами некоторого многочлена от двух перменных.
In the theory of Diophantine Approximations one considers a question on approximation of Real Numbers by rational fractions with one and the same denominators. Among intensivelystudied questions of this theory a special place occupy Metric questions. Here such questions of the theory are considered which take place for almost all real numbers from given interval.For the first time similar questions have been studied by Khintchine for approximation of independent quantities. It had been investigated by him conditions at which for almost allreal numbers specified accuracy of approximation is reached. Very important in the technical plan Khintchince’s transference principle allows us to connect a simultaneous approximationsof dependent quantities with approximations of linear forms with integral coefficients.In 1932 Mahler K. has entered classification of transcendental numbers into consideration.He showed that almost all transcendental numbers are 𝑆 -numbers. Moreover, Mahler had proved an existence of a constant 𝛾 > 0 such that for almost all 𝜔
$$|𝑃(𝜔)| > ℎ^(−𝑛𝛾)$$,
for all polynomials 𝑃 of degree no more 𝑛 and height ℎ > ℎ0(𝜔, 𝑛, 𝛾). Mahler showed that it is possible to take
$$𝛾 = 4 + 𝜀$$.
In the same work Mahler made an assumption that it is possible to take 𝛾 = 1 + 𝜀 for almost all real numbers.This hypothesis was proved by Sprindzhuk V. G by a method of essential and nonessential domains. Simultaneously, Sprindzhuk V. G. advanced some hypotheses generalising and improving Mahler’s results. Further these investigations of Sprindzuk led to the development of a new direction in the theory of Diophantine Approximations – to the research of extremality of manifolds.In the present article we develop a new approach to these questions and offer a new proof for extremality of algebraic varieties. This method allows to establish extremality of affine image of topological product of some varieties. Considering one particular case, we prove that the extremality for these varieties is possible to deduct from theorems on the convergence exponentof a special integral of Terry’s problem, using E.I. Kovalevskaya’s lemma. Further, we derive from the getting result particular case of the Sprindzuk’s hypothesis on extremality of varieties,induced by monomials of a polynomial in two variables.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.