chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-2-417-436cheb-1009Research ArticleИстория математики и приложенийСomputer scienceИз истории понятия структурной устойчивостиFrom the history of the concept of structural stabilityМухинРавиль РафкатовичMukhinRavil’ Rafkatovich

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

mukhiny@mail.ruСтарооскольский технологический университет им. А. А. Угарова (филиал) Национального исследовательского технологического университета «МИСиС»РоссияUgarov Stary Oskol Technological Institute (branch) National University of Science and Technology «MISiS»Russian Federation202101062021222417436Copyright © Мухин Р.Р., 20212021Мухин Р.Р.Mukhin R.R.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1009

Цель. Целью работы является изучение истории представлений о грубости (структурной устойчивости), которая является не только одним из важнейших понятий теории нелинейных систем, но лежит в основе нашего миропонимания. До настоящего времени структурная устойчивость рассматривалась в историческом плане лишь фрагментарно (главным образом, в связи со школой Андронова) и не являлась предметом последовательного исторического исследования. Метод. Исследование основано на анализе оригинальных работ, историко-научной литературы с привлечением воспоминаний участников описываемых событий. Результаты. В школе Андронова в контексте прикладных проблем исчерпывающим образом были изучены двумерные системы, для которых структурнаяустойчивость является типичным свойством. С конца 1950-х гг. происходит смещение исследований структурной устойчивости в контексте прикладных проблем в сторону теории динамических систем. М. Пейксото изучил структурную устойчивость на замкнутых двумерных многообразиях и доказал плотность таких систем. С. Смейл выдвинул гипотезу о существовании структурно устойчивых систем в многомерном случае (𝑛 > 3). Такие системы существуют (системы Морса-Смейла), но он сам установил их нетипичность, они не составляют плотного множества. Для многомерных систем характерно сложное поведение,был построен пример такой системы (подкова Смейла). Изучение систем со сложным поведением стимулировало развитие гиперболической теории. Обсуждение. Структурнаяустойчивость явилась важным фактором открытия сложного поведения динамических систем уже в трехмерном случае, она продолжает играть значительную роль в современ-ной теории динамических систем. Структурная устойчивость имеет общенаучное значение, сыграла ключевую роль в построении теории катастроф, она вышла за рамки теории динамических систем и самой математики, проникает в другие области науки, в том числе в гуманитарную сферу.

Aim. The aim of the work is to study the history of ideas about coarseness (structural stability), which is not only one of the most important concepts of the theory of nonlinear systems, but lies at the heart of our worldview. To nowаdays, structural stability has been considered in historical terms only fragmentarily (mainly in connection with the Andronov school) and has not been the subject of a consistent historical study. Method. The study isbased on an analysis of original works, historical and scientific literature with the involvement of the memories of participants in the events described. Results. In Andronov’s school, in thecontext of applied problems, two-dimensional systems for which structural stability is a typical property have been exhaustively studied. Since the late 1950s there is a shift in research onstructural stability in the context of applied problems towards the theory of dynamical systems.M. Peixoto studied structural stability on closed two-dimensional manifolds and proved the density of such systems. S. Smale hypothesized the existence of structurally stable systems inthe multidimensional case (𝑛 > 3) . Such systems exist (Morse-Smale systems), but he himself established their atypicality, they do not constitute a dense set. Multidimensional systems arecharacterized by complex behavior; an example of such a system (Smale’s horseshoe) was built. The study of systems with complex behavior stimulated the development of hyperbolic theory.Discussion. Structural stability was an important factor in the discovery of the complex behavior of dynamical systems already in the three-dimensional case; it continues to play asignificant role in the modern theory of dynamical systems. Structural stability is of general scientific importance, played a key role in the construction of catastrophe theory, it went beyond the framework of the theory of dynamical systems and mathematics itself, penetrates into other areas of science, including the humanitarian sphere.

динамическая системагрубостьструктурная устойчивостьтополо- гическая эквивалентностьтипичностьтрансверсальностьплотное множество.dynamical systemcoarsenessstructural stabilitytopological equivalencetypicalitytransversalitydense set.Исследование выполнено при поддержке РФФИ (проект № 20-011-00402 А.).ReferencesТом Р. Структурная устойчивость и морфогенез. М. : Логос, 2002. 280 с.Thom, R. 1972, Stabilit´e structurelle et morphogen`ese, W.A. Bendjamin, Paris, 288 p.Галилей Г. Пробирных дел мастер. М.: Наука, 1987. 272 с.Galileo, Galilei. 2017, Il Saggiatore, Independent Publishing Platform, Rome, 270 p.Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: РХД, 2000. 400 с.Arnold, V.I. 2000, Geometric methods in the theory of ordinary differential equations, RHD, Izhevsk, 400 p.Лаплас П.С. Опыт философии теории вероятностей. М., 1908. 206 с.Laplace, P.S. 1902, A Philosophical Essay on Probabilities, J. Wiley, N.Y., 230 p.Молодший В.Н. О. Коши и революция в математическом анализе первой четверти XIX в. // Истор.-матем. исслед. 1978. Вып. 23. С. 32-55.Molodshiy, V.N. 1978, ”A.-L. Cauchy and the revolution in the mathematical analysis of the first quarter of the 19th century“, Histor.Mat. Researches, Issue 23, pp. 32-55.Liouville J. Remarques nouvelles sur l’´equation de Riccati // J. Math. Pures et Appl. 1841. P. 1-13, 36.Liouville, J. 1841,”Remarques nouvelles sur l’´equation de Riccat“, J. Math. Pures et Appl., Vol. 36, pp. 1-13.Bour J. Sur l’integration des ´equations diff´erentielles de la M´ecanique Analytic // J. Math. Pure et Appl. 1855. V. 20. P. 185-200.Bour, J. 1855, ”Sur l’integration des ´equations diff´erentielles de la M´ecanique Analytic“, J. Math. Pure et Appl., Vol. 20, pp. 185-200.Liouville J. Note `a l’occasion du memoire pr´ecident de M. Edmond Bour // J. Math. Pure et Appl. 1855. V. 20. P. 201-202.Liouville, J. 1855, ”Note `a l’occasion du memoire pr´ecident de M. Edmond Bour“, J. Math. Pure et Appl., Vol. 20, pp. 201-202.Poincar´e H. Memoire sur les courbes d´efinies par une ´equations differentielle // J. Мath. Рure et Аppl. S´er. 3. 1881. V. 7. P. 375-422; 1882. V. 8. P. 251-296; S´er. 4. 1885. V. 1. P. 167-244; 1886. V. 2. P. 151-217.Poincar´e, H. 1881; 1882; 1885; 1886, "Memoire sur les courbes d´efinies par une ´equations differentielle“, J. Мath. Рures et Аppl., S´er. 3, Vol. 7, pp. 375-422; Vol. 8, pp. 251-296; S´er. 4, Vol. 1, pp. 167-244; Vol. 2, pp. 151-217.Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: ОГИЗ,Poincar´e, H. 1947, Sur les courbes d´efinies par des ´equations diff´erentielles, GITTL, Moscow, 392 p. (in Russian).392 с.Bohl, P. 1913, ” ¨Uber Differentialungleichugen“, J. f¨ur reine und angewandte Math. , Bd. 144, s. 284-313.Bohl P. ¨Uber Differentialungleichugen // J. f¨ur reine und angewandte Math. 1913. Bd. 144. S. 284-313.Myshkis, A.D., Rabinovich, I.M. 1965, Mathematician Pierce Bohl, Zinatne Publishing House, Riga, 100 p. (in Russian).Мышкис А.Д., Рабинович И.М. Математик Пирс Боль. Рига: Изд-во «Зинатне», 1965. 100 с.Anosov, D.V., 1985, ”Rough systems“, Proceedings of the Steklov Mathematical Institute of the USSR, Vol. 169, pp. 59-93 (in Russian).Аносов Д.В. Грубые системы // Труды МИАН СССР. 1985. Т. 169. С. 59-93.Andronov, A.A., Pontryagin, L.S. 1937, ”Syst`emes grossiers “, Comp. Rend. de l’Acad. Sci. de URSS, Vol. 14, P. 247-250.Андронов А.А., Понтрягин Л.С. Грубые системы // ДАН СССР. 1937. Т. 14. № 5. С. 247-252.Poincar´e , H. 1908, ”L’avenir des math´ematiques“, Bull. des Sci. Math., 2e s´er., Vol. 32, part I, pp. 168-190.Пуанкаре А. Будущее математики// Вестн. опыт. физики и элем. математики. 1908. Вып. № 474. С. 405-410; № 475-476. С. 425-429; № 477. С. 473-483.Kneser, H., 1924, ”Regul¨are Karvenscharen auf den Ringfl¨achen“, Math. Ann., Vol. 91, S. 135- 154.Kneser H. Regul¨are Karvenscharen auf den Ringfl¨achen // Math. Ann. 1924. V. 91. S. 135-154.Peixoto, M. M. 1989, ”Acceptance speech for the TWAS 1986 award in mathematics“, The future of science in China and the third world, World Sci., Singapore , pp. 600-614.Peixoto M. M. Acceptance speech for the TWAS 1986 award in mathematics // The future of science in China and the third world. Singapore: World Sci., 1989. P. 600-614.Andronov, A.A. 1929, ”Les cycles limites de Poincar´e et la th´eorie des oscillations autoentretenues“, Comp. Rend., Vol. 189, Iss.15, pp. 559-561.Andronov A.A. Les cycles limites de Poincar´e et la th´eorie des oscillations autoentretenues // Comp. Rend. 1929. T. 189. N 15. P. 559-561.Boyko, E.S. 1991, Alexander Alexandrovich Andronov, Nauka, Moscow, 256 p. (in Russian).Бойко Е.С. Александр Александрович Андронов. М.: Наука, 1991. 256 с.Nemytsky, V.V. 1936, ”Moscow Topological Circle for 10 years“, Russian Math. Survey, Issue 2, pp. 279-285 (in Russian).Немыцкий В.В. Московский топологический кружок за 10 лет // УМН. 1936. Вып. 2. С. 279-285.Andronov, A.A. 1956, ”Mathematical problems in self-oscillation theory“, Collected Works, Acad. Sci. USSR, Moscow, pp. 32-71 (in Russian).Андронов А.А. Математические проблемы теории автоколебаний // I Всесоюзн. конф. по колебаниям. Т. I. М.: Гостехтеориздат, 1933. С. 32-71.Andronov, A.A., Khaikin, S.E. 1937, Theory of oscillations, ONTI, Moscow-Leningrad, 519 p. (in Russian).Андронов А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.-Л.: ОНТИ, 1937. 519 с.Minorsky, N. 1958, Introduction to Nonlinear Mechanics, J.W. Edvards, Ann-Arbor, 476 p.Minorsky N. Introduction to Nonlinear Mechanics. Ann-Arbor: J.W. Edvards, 1958. 476 p.Andronov, A.A., Khaikin, S.E. 1949, Theory of Oscillations, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 358 p.Andronov A.A., Khaikin S.E. Theory of Oscillations. Princeton, NJ: Princeton Univ. Press,Aubin, D. 1998, Cultural History of Catastrophe and Chaos, Universit´e de Princeton, D´epartement d’Histoire, 782 p.358 p.Lefschetz, S. 1959, Nonlinear Differential Equations and Nonlinear Oscillations, US Office of Naval Research (August 15, 1946 – Sept. 30, 1959), Final Report.Aubin D. Cultural History of Catastrophe and Chaos. Princeton, NJ: Universit´e de Princeton, D´epartement d’Histoire, 1998. 782 p.Griffiths, P., Spencer, D., Whitehead, G. 1992, Solomon Lefschetz. A biographical memoir, National Acad. Sci., Washington D.C., 313 p.Lefschetz S. Nonlinear Differential Equations and Nonlinear Oscillations. US Office of Naval Research (August 15, 1946 – Sept. 30, 1959). Final Report.De Baggis, G.F. 1952, ”Dynamical systems with stable structure“, Contribution to the Theory of Nonlinear Oscillations, Ed. Lefschetz S., Vol. 2, pp. 37-59.Griffiths P., Spencer D., Whitehead G. Solomon Lefschetz. A biographical memoir .Washington D.C.: National Acad. Sci., 1992. 313 p.Dahan Dalmedico, A. 1994, ”La renaissance des syst`emes dynamiques aux Etats-Unis apr`es la deuxieme guerre mondiale“, Suppl. Rendiconti dei circolo math. Palermo, Ser. II, Vol. 34, pp. 133-166.De Baggis G.F. Dynamical systems with stable structure // Contribution to the Theory of Nonlinear Oscillations. Ed. Lefschetz S. 1952. V. 2. P. 37-59.Arnold, V.I. 1990, Catastrophe theory, Nauka, Moscow, 128 p. (in Russian).Dahan Dalmedico A. La renaissance des syst`emes dynamiques aux Etats-Unis apr`es la deuxiemeWhiney, H. 1955, ”Singularities of mappings of Euclidean spaces“, Ann. Math., Vol. 62, pp. 374-410.guerre mondiale // Suppl. Rendiconti dei circolo math. Palermo. 1994. Ser. II. V. 34. P. 133-166.Kolmogorov, A.N. 1954, ”The general theory of dynamical systems and classical mechanics“, Proc. Intern. Congr. Math. Amsterdam, Vol. 1, pp. 315-333.Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. 128 с.Hunt, B., Kaloshin, V. 2010, ”Prevalence“, Handbook of Dynamical Systems. Vol. 3. Ed. By H. Broer, F. Takens and B. Hasselblatt, Elseiver, Amsterdam, pp. 43-88.Whiney H. Singularities of mappings of Euclidean spaces // Ann. Math. 1955. V. 62. P. 374-410.Anosov, D.V. 1985, ”Transversality“, Math. encyclopedia, Vol. 5, Sov. Encyclopedia, Moscow, pp. 415-416 (in Russian).Колмогоров А.Н. Общая теория динамических систем и классическая механика // Proc. Intern. Congr. Math. 1954. Amsterdam. V. 1. P. 315-333. / То же в кн.: А.Н.Колмогоров.Thom, R. 1954, ”Quelques proprieties globales des varites differentiables“, Comm. Math. Helv., Vol. 28, pp. 17-86.Математика и механика. М.: Наука, 1985. С. 316-332.Thom, R. 1956, ”Un lemme sur les applications differentiables“, Boletin de la Sociedad Math. Mexicana, Vol. 1, Ser. 2, pp. 59-71.Hunt B., Kaloshin V. Prevalence // Handbook of Dynamical Systems. V. 3. Ed. By H. Broer, F. Takens and B. Hasselblatt. Amsterdam: Elseiver, 2010. P. 43-88.Levine, G. 1971, ”Singularities of differentiable mappings“, Lecture notes of math., Vol. 192, pp. 1-89.Аносов Д.В. Трансверсальность // Мат. энциклопед. Т. 5. М.: Сов. Энциклопедия, 1985. С. 415-416.Peixoto, M.M. 1993, ”Some Recollections of the Early Work of Steve Smale“, From Topology to Computation: Proceedings of the Smalefest. Ed. by M.W. Hirsh, J.E. Marsden, M. Shub,Thom R. Quelques proprieties globales des varites differentiables // Comm. Math. Helv. 1954. V. 28. P. 17-86.Springer-Verlag, N.Y., pp. 73-75.Thom R. Un lemme sur les applications differentiables // Boletin de la Sociedad Math. Mexicana. 1956. V. 1. Ser. 2. P. 59-71.Sotomayor, J. 1952, ”Introduction: A few words about Mauricio M. Peixoto on his 80th birthday II. S. Lefschetz, ed.“, Princeton Univ. Press, Princeton, N.Y., pp. 37-59.Том Р., Левин Г. Особенности дифференцируемых отображений // Особенности дифференцируемых отображений. Под ред. В.И. Арнольда. М.: Мир, 1968. С. 8-101.Lefschetz, S. 1957, Differential equations: geometric theory, Interscience Publshers, N.Y., 400 p.Peixoto M.M. Some Recollections of the Early Work of Steve Smale // From Topology to Computation: Proceedings of the Smalefest. Ed. by M.W. Hirsh, J.E. Marsden, M. Shub. N.Y.:Peixoto, M. 1959, ”On structural stability“, Ann. Math., Vol. 69, No 1, pp. 199-222.Springer-Verlag, 1993. P. 73-75.Anosov, D.V. 2000, ”On the development of the theory of dynamical systems over the past quarter century“, Student Readings of MK NMU. V. 1., MCCNMO, Moscow, pp. 74-192 (inSotomayor J. Introduction: A few words about Mauricio M. Peixoto on his 80th birthday // II. S. Lefschetz, ed. Princeton, N.Y.: Princeton Univ. Press, 1952. p. 37-59; Comp. Appl. Math.Russian).V. 20. N 1-2. P. 3-9.Smale, S. 1980, ”On how I can get started in dynamical systems“, Smale S. The mathematics of time, Springer Verlag, N.Y., pp. 147-151.Lefschetz S. Differential equations: geometric theory. N.Y.- L.: Interscience Publshers, 1957. 400 p.Peixoto, M. 1962, ”Structural stability on two-dimensional manifolds“, Topology, Vol. 1, No 2, pp. 101-120.Peixoto M. On structural stability // Ann. Math. 1959. V. 69. N 1. P. 199-222.Mayer, A.G. 1939, "Rough transformation of a circle into a circle“, Sci. notes of Gorky State Univ., Issue 12, pp. 215-229 (in Russian).Аносов Д.В. О развитии теории динамических систем за последнюю четверть века // Студенческие чтения МК НМУ. Вып. 1. М.: МЦНМО, 2000. С. 74-192.Pliss, V.A. 1960, ”On the roughness of differential equations given on a torus“, Bull. of Leningrad State Univ., Vol. 13, Issue. 3, pp. 15-23 (in Russian).Smale S. On how I can get started in dynamical systems // Smale S. The mathematics of time. N.Y.: Springer Verlag, 1980. P. 147-151.Arnold, V.I. 1961, ”Small denominators. I. The mapping of a circle onto itself“, Proc. of the USSR Acad. of Sci. Ser. Math., Vol. 25. No. 1. pp 21-86 (in Russian).Peixoto M. Structural stability on two-dimensional manifolds // Topology. 1962. V. 1. N 2. P. 101-120.Palis, J., Di Melo, V. 1998, Geometric theory of dynamical systems, University of Beijing, Beijing, 198 p.Майер А.Г. Грубое преобразование окружности в окружность // Учен. записки Горьков. ун-та. 1939. Вып. 12. С. 215-229.Peixoto, M. 1963, "Structural stability on two-dimensional manifolds – a further remarks“, Topology, Vol. 2, No 2, pp. 179-180.Плисс В.А. О грубости дифференциальных уравнений, заданных на торе // Вест. ЛГУ. 1960. № 13. Вып. 3. С. 15-23.Nemytskii, V.V., Stepanov, V.V. 1960, Qualitative Theory of Differential Equations, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 523 p.Арнольд В.И. Малые знаменатели. I. Отображение окружности на саму себя // Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1961. Т. 25. № 1. С. 21-86.Smale, S. 1961, ”On gradient dynamical systems“, Ann. Math., Vol. 74, pp. 199-206.Палис Ж.., Ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. М.: Мир, 1986. 301 с.Smale, S. 1963, ”A structurally stable differential homomorphysm with an infinite number of periodic points“, Proc. Int. Congress on non-linear oscillations in Кiev, 1961, Ukranian Acad. Sci., Кiev, pp. 365-366.Peixoto M. Structural stability on two-dimensional manifolds – a further remarks // Topology. 1963. V. 2. N 2. P. 179-180.Smale, S. 1966, ”Structurally stable systems are not dense“, Am. J. Math., Vol. 73, pp. 747-817.Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.- Л.: ГИТТЛ, 1949. 552 с.Smale, S. 2000, ”Finding a Horseshoe on the Beaches of Rio“, Chaos Avant-Garde, World Sci., Singapore, pp. 7-22.Smale S. On gradient dynamical systems // Ann. Math. 1961. V. 74. P. 199-206.Cartwright, M., Littlewood, J.E. 1945, ”On non-linear differential equations of the second order: I. The equation 𝑦 − 𝑘(1 − 𝑦2)𝑦 + 𝑦 = 𝑏𝜆𝑘𝑐𝑜𝑠(𝜆𝑡 + 𝛼), k large“, J. London Math. Soc., Vol. 20, Part 3, No 79, pp. 180-189.Smale S. A structurally stable differential homomorphysm with an infinite number of periodic points // Труды Межд. симпоз. по нелин. колебаниям. Киев 1961. Киев: АН УССР, 1963. С. 365-366.Cartwright, M., Littlewood, J.E. 1947;1949, ”On non-linear differential equations of the second order: II. The equation 𝑦 + 𝑘𝑓(𝑦, 𝑦) + 𝑔(𝑦, 𝑘) = 𝑝(𝑡) = 𝑝1(𝑡) + 𝑘𝑝2(𝑡); 𝑘 > 0, 𝑓(𝑦) > 1“, Ann.Smale S. Structurally stable systems are not dense // Am. J. Math. 1966. V. 73. P. 747-817 / Рус. пер. в сб.: Математика. 1967. Т. 11. № 4. С. 107-112.Math., Vol. 48. No 2. P. 472-494; Vol. 50, pp. 504-505.Smale S. Finding a Horseshoe on the Beaches of Rio // Chaos Avant-Garde. Singapore: World Sci., 2000. P. 7-22.Littlewood, J.E. 1957, ”On non-linear differential equations of the second order: III. The equation 𝑦 − 𝑘(1 − 𝑦2)𝑦 + 𝑦 = 𝑏𝜆𝑘𝑐𝑜𝑠(𝜆𝑡 + 𝛼), for large 𝑘, and its generalization“, Acta Math.,Cartwright M., Littlewood J.E. On non-linear differential equations of the second order: I. The equation 𝑦 − 𝑘(1 − 𝑦2)𝑦 + 𝑦 = 𝑏𝜆𝑘𝑐𝑜𝑠(𝜆𝑡 + 𝛼), k large // J. London Math. Soc. 1945. V. 20.Vol. 97, No 3-4, pp. 267-308.Part 3. N 79. P. 180-189.Littlwood, J.E. 1957, ”On the non-linear differential equations of the second order: IV. The general equation 𝑦+𝑘𝑓(𝑦)𝑦+𝑔(𝑦) = 𝑏𝑘𝑝(𝜙), 𝜙 = 𝑡+𝛼“, Acta Math., Vol. 98, No 1-2, pp. 1-110.Cartwright M., Littlewood J.E. On non-linear differential equations of the second order: II. The equation 𝑦 + 𝑘𝑓(𝑦, 𝑦) + 𝑔(𝑦, 𝑘) = 𝑝(𝑡) = 𝑝1(𝑡) + 𝑘𝑝2(𝑡); 𝑘 > 0, 𝑓(𝑦) > 1 // Ann. Math. 1947. V. 48. N 2. P. 472-494; 1949. V. 50. P. 504-505.Littlwood, J.E. 1960, ”On the number of stable periods of a differential equation of the Van der Pol type“, JRE Trans. Circuit Theory, Vol. 7, No 4, pp. 535-542.Littlewood J.E. On non-linear differential equations of the second order: III. The equation 𝑦 − 𝑘(1 − 𝑦2)𝑦 + 𝑦 = 𝑏𝜇𝑘𝑐𝑜𝑠(𝜇𝑡 + 𝛼) for large k, and its generalization // Acta Math. 1957. V.Levinson, N. 1949, ”A second order differential equation with singular solutions“, Ann. Math., Vol. 50, No 1, pp. 126-153.N 3-4. P. 267-308.Smale, S. 1966, ”Structurally stable systems are not dense“, Am. J. Math., Vol. 73, pp. 747-817.Littlwood J.E. On the non-linear differential equations of the second order: IV. The general equation 𝑦 + 𝑘𝑓(𝑦)𝑦 + 𝑔(𝑦) = 𝑏𝑘𝑝(𝜙), 𝜙 = 𝑡 + 𝛼// Acta Math. 1957. V. 98. N 1-2. P. 1-110.Anosov, D.V. 2006, ”Dynamical systems in the 60s: hyperbolic revolution“, Mathematical events of the twentieth century, Springer, Berlin, pp. 1-18.Littlwood J.E. On the number of stable periods of a differential equation of the Van der Pol type, JRE Trans. Circuit Theory. 1960 V. 7. N 4. P. 535-542.Anosov, D.V. 1962, ”Coarseness of geodesic flows on compact Riemannian manifolds of negativeLevinson N. A second order differential equation with singular solutions // Ann. Math. 1949. V. 50. N 1. P. 126-153.curvature Rep. of Acad. Sci. USSR, Vol. 145, № 4, pp. 707-709.Smale S. Structurally stable systems are not dense // Am. J. Math. 1966. V. 73. P. 747-817.Anosov, D.V. 1967, ”Geodesic flows on compact Riemannian manifolds of negative curvature“, Proceedings of MIAN, Nauka, Moscow, pp. 3-209.Аносов Д.В. Динамические системы в 60-е годы: гиперболическая революция // Математические события ХХ века. М.: Фазис, 2003. С. 1-18.Ilyashenko, Yu.S. 2006, ”Attractors of dynamical systems and philosophy of generic position“, Images de Mathematique, CNRS, France, p. 58–63.Аносов Д.В. Грубость геодезических потоков на компактных римановых многообразиях отрицательной кривизны // ДАН СССР. 1962. Т. 145. № 4. С. 707-709.Ruelle, D., Takens, F. 1971, ”On the Nature of Turbulence“, Comm. Math. Phys., Vol. 20, pp. 167-192.Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны // Труды МИАН. М.: Наука, 1967. С. 3-209.Arnold, V.I.1986, ”Catastrophe Theory“, Modern problems of mathematics. Fundamental directions. V. 5., VINITI, Moscow, pp. 219-277 (in Russian).Ильяшенко Ю.С. Аттракторы динамических систем и философия общего положения // Матем. просв. 2008. Вып. 12. С. 13-22.Hadamard, J. 1923, Lectures on Cauchy’s Problem in Linear Differential Equations, New Haven, 316 p.Ruelle D., Takens F. On the Nature of Turbulence // Comm. Math. Phys. 1971. V. 20. P. 167-192 / Рус. пер. в кн.: Странные аттракторы. М.: Мир, 1981. С. 117-151.Mira, C. 1997, ”Some historical aspects of nonlinear dynamics: possible trends for the future“, Int. J. Bifurcation and Chaos, Vol. 7, No 9, pp. 2145-2173.Арнольд В.И. Теория катастроф // Совр. проблемы математики. Фунд. направления. Т. 5. М.: ВИНИТИ, 1986. С. 219-277Tikhonov, A.N. 1943, "On the stability of inverse problems“, Rep. of Acad. Sci. USSR, Vol. 39, No. 5, pp. 195-198 (in Russian).Hadamard J. Lectures on Cauchy’s Problem in Linear Differential Equations. New Haven, 1923. 316 p.Thom, R. 1969, ”Topological models in biology“, Topology, Vol. 8, No 3, pp. 313-335.Mira C. Some historical aspects of nonlinear dynamics: possible trends for the future // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1997. V. 7. N 9. P. 2145-2173.Thom, R. 1974, ”Catastrophe theory: Its present state and future perspectives“, Dynamical systems, Springer-Verlag, Berlin, pp. 366-372.Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР. 1943. Т. 39. № 5. С. 195-198.Aubin D. 2001, ”From catastrophe to chaos: the modelling practices of applied topologists“, Changing images of math. Ed. by U. Bottazzini and A. Dahan Dalmedico, Routledge, N.Y., pp.Thom R. Topological models in biology // Topology. 1969. V. 8. N 3. P. 313-335.-279.Thom R. Catastrophe theory: Its present state and future perspectives // Dynamical systems. Berlin: Springer-Verlag, 1974. P. 366-372.Aleskerov, F.T. et al. 2007, Influence and structural stability in the Russian parliament (1905- 1917 and 1993-2005), Fizmatlit, Moscow, 309 p. (in Russian).Aubin D. From catastrophe to chaos: the modelling practices of applied topologists // Changing images of math. Ed. by U. Bottazzini and A. Dahan Dalmedico. L.-N.Y.: Routledge, 2001. P.Aubin D. From catastrophe to chaos: the modelling practices of applied topologists // Changing images of math. Ed. by U. Bottazzini and A. Dahan Dalmedico. L.-N.Y.: Routledge, 2001. P.-279.-279.Алескеров Ф.Т. и др. Влияние и структурная устойчивость в российском парламенте (1905- 1917 и 1993-2005 гг.). М.: Физматлит, 2007. 309 с.Алескеров Ф.Т. и др. Влияние и структурная устойчивость в российском парламенте (1905- 1917 и 1993-2005 гг.). М.: Физматлит, 2007. 309 с.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.